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1、第六章 样本及抽样分析,总体与样本 在实际问题中，往往并不知道是什么样分布，或者分布中的参数值是什么，这需要用数理统计的办法来解决。从全体研究对象中抽取部分个体（有限）进行试验，尽可能从中获取对研究对象统计规律 作出精确可靠的推测 -统计推断。,统计学最关心的是： 如何抽取数据 如何从数据中提取信息 所得结论的可靠性,-抽样问题 -参数估计问题 -假设检验问题,统计学的研究对象: 客观事物总体的数量特征和数量关系等。,统计推断问题,学生身高的变化 中国的经济发展使得人民生活得到了很大的提高，孩子这一代的身高比上一代有了很大的变化，下面是在一个城市中学和一个农村中学收集到的17岁学生身高数据。
2、（1）试对目前17岁城市男生的平均身高做出估计？ （2）查到20年前该校同龄男生平均身高为168cm，20年来城市男生的身高是否发生了变化？ （3）收集到100名农村男生的平均身高和标准差分别为168.9cm和5.4cm，问与城市同龄男生的身高有否差距？,50名17岁城市男生身高（单位：cm） 163.3 179.0 176.5 178.4 165.1 179.4 176.3 179.0 173.9 173.7 173.2 172.3 169.3 172.8 176.4 163.7 177.0 165.6 167.4 166.6 174.0 174.3 184.5 171.9 181.4 16
3、4.6 176.4 172.4 180.3 160.5 166.2 173.5 171.7 167.9 168.7 175.6 179.6 171.6 168.1 172.2 179.0 171.5 173.1 174.1 177.2 170.3 176.2 163.7 175.4 170.1,47名17岁农村男生身高（单位：cm） 171.2 163.7 173.1 171.9 164.4 167.4 162.4 157.0 174.2 166.0 170.6 170.1 169.0 163.4 163.7 166.8 162.4 163.1 176.8 169.2 162.3 168.6
4、162.8 161.6 167.4 174.0 169.5 172.4 162.5 166.4 167.4 162.3 161.7 173.9 168.9 165.4 173.2 170.1 163.5 176.1 170.4 176.8 175.0 165.2 161.9 168.5 167.1,第六章 样本及抽样分析,总体与样本,抽样 总体中抽取一部分个体的过程； 样本 抽样得到 X 的一组数据； 样本容量（大小） 样本中的个体数量,第六章 样本及抽样分析,总体与样本,从总体抽取容量为 n 的样本，即对随机变量 X 随机地、独立地进行 n 次观测，每个结果也看成一个随机变量： 它们互相独立
5、，且与总体 X 服从相同的分布。 一次观测的结果：,样本可看成 n 维随机变量（ ）， 则有,或,独立同分布,例1 某电话交换台一小时内呼入次数 X P(), 0。求来自这一总体 的简单随机样本的样本分布律。 解：,第六章 样本及抽样分析,总体与样本,第六章 样本及抽样分析,总体与样本,例2 某批灯泡寿命 X E()，求样本 的联合概率密度。 解：,例3 样本 来自均匀分布U(0,1)，求联合概率密度。,178.4 161.5 174.9 182.7 171.0 165.3 172.8 182.1 180.2 176.8 181.7 175.7 177.3 180.0 179.4 177.0
6、181.3 176.5 176.0 175.7 168.1 184.6 169.1 177.8 175.1 161.8 174.3 176.0 163.7 176.8 177.3 175.3 180.2 176.8 181.9 178.4 181.5 177.6 179.9 178.2 174.7 176.0 175.7 180.3 166.2 177.2 171.9 182.9 176.8 179.5 167.0 174.8 182.7 174.9 178.1 179.9 175.4 184.4 175.1 179.4 173.2 176.1 177.6 180.5 164.3 170.5
7、177.5 168.3 173.0 176.8 173.9 180.7 166.5 180.0 165.6 179.4 182.2 176.3 177.4 183.4 167.9 176.1 177.4 183.4 176.9 168.0 179.0 178.8 173.1 173.2 162.2 179.9 178.2 183.0 174.0 180.8 173.1 173.2 176.8 171.1 169.0 178.3 171.6 181.2 167.6 161.1 166.0 190.2 180.3 166.2 174.9 175.8 176.5 164.2 173.0 176.8
8、170.5 180.5 177.3 175.3 163.7 176.8 171.1 168.5 171.2 170.2 177.1 169.4 175.7 177.3 183.2 168.6 175.1 179.4 169.1 169.9 168.5 180.2 174.9 171.0 171.0 168.8 177.7 168.6 176.6 175.9 176.8 179.5 174.3 176.0,身高总体,第六章 样本及抽样分析,统计量 - 是样本的函数，用来对总体的未知参数进行推断，故其中不含有未知的总体参数。 常用的统计量,其观测值用小写表示。,统计量也是随机变量,样本均值 样本方
9、差 k 阶原点矩 k 阶中心矩 标准差,第六章 样本及抽样分析,例 有一组样本观测值为 (5,4,6,5),计算其样本均值、样本方差、2 阶原点矩和 3 阶中心矩。,第六章 样本及抽样分析,统计量直方图,100次刀具故障记录(完成的零件数),1 2 4 6 15 22 22 14 8 4 2,100个数分类放在等间隔的小格中,统计落在小格中的频数：,画出频率图：,第六章 样本及抽样分析,1.设 X1, X2, X3 是总体 X 的一个样本，那么当N(0,1) 时，样本的联合密度函数 f(x1, x2, x3) = ；当(1, p)时，样本的联合分布律 PX1 = k1, X2 = k2, X3
10、 = k3 = 。,练习,第六章 样本及抽样分析,2.设总体N(a, b)，其中 a 已知，b 未知。再设X1, X2, X3 是取自总体 X 的一个样本。那么，函数（1）X1 + X2 + X3；（2）X2 + 2a；（3）X1； （4）maxX1, X2, X3；（5）Xi2 / b 中哪些是统计量？,练习,第六章 样本及抽样分析,3.设总体 P(a)，X1, X2, Xn 取自总体 X 的样本，那么，E( ) = , D( ) = , E( ) = 。,练习,第六章 样本及抽样分析,练习,第六章 样本及抽样分析,4.设(1, p)，X 的一组观察值为 0,1,0,1,1，那么样本均值的观
11、察值= ，样本方差的观测值= 。,练习,第六章 样本及抽样分析,抽样分布,统计量是不含未知量的样本函数，也是随机变量。 统计量的分布称抽样分布。 当总体分布已知时，抽样分布也确定了，但这些分布很难求出。,总体,样本,统计量,估计/推断,抽样,性质： 可加性： 期望与方差：E(Y) = n, D(Y) = 2n,第六章 样本及抽样分析,几种常用的统计量分布,（一） 分布 设 来自总体 XN(0,1) 的样本，则称统计量 为服从自由度 n 的 分布。（自由度乃独立的随机变量的个数）即,第六章 样本及抽样分析,抽样分布,期望与方差：E(Y) = n, D(Y) = 2n,X1, X2, Xn 来自标
12、准正态总体 X 的样本，那么,是否服从卡方分布？若 kY 2( n )，求 k，n,第六章 样本及抽样分析,抽样分布,（二）t-分布 相互独立， 则称随机变量 服从自由度为 n 的 t-分布 T t(n)。,第六章 样本及抽样分析,抽样分布,性质： 对称性: n ，密度函数趋向标准正态分布；,1-,第六章 样本及抽样分析,抽样分布,相互独立，则称随机变量 服从自由度为 的 F 分布。,性质：,（三）F - 分布：,证明：,分位点 查表,抽样分布往往由制成上分位点表,分位点(01)指将密度曲线下面的面积按比例划分的点，有左(侧)分位点和右(侧)分位点，后者也称上分位点。,对给定的(概率值)，若
13、则称 为 f (x) 的 上分位点。,自由度,右侧尾部概率,上分位点,如：查找自由度为 12 的卡方分布，关于右侧尾部概率 0.05 的上分位点？,查表练习： 求下列各式中的 C 值,第六章 样本及抽样分析,正态总体统计量的分布,来自正态总体 的样本，其样本均值和样本方差 的分布性质：,第六章 样本及抽样分析,正态总体统计量的分布,关于统计量样本均值的分布,正态总体统计量的分布,第六章 样本及抽样分析,只有 n1 个独立的随机变量,第六章 样本及抽样分析,正态总体统计量的分布,第六章 样本及抽样分析,1.设正态分布 N (100,100) 的有一个容量为 10 的样本，其样本均值服从_，样本方
14、差乘以_后服从 分布。 2. 已知来自正态总体 的样本均值和样本方差， （1）查什么分布表可以确定 的值？ （2） 服从什么分布？ 3. 设总体 有两个容量分别为10和15的两个样本均值 比较两个概率大小。 4. X B(1, p)，求 5. X N(15, 2)，有两个容量为 10 和 15 的两个样本，求其样本均值差的绝对值小于 0.2 的概率。,第六章 样本及抽样分析,正态总体统计量的分布,例1 110kV 电网的电压波动值 V(单位：kV) 服从正态分布 N(110, 5.52)。随机测试 16 次电压值，试问其样本均值与总体均值的偏差小于 4kV 的概率？,第六章 样本及抽样分析,正
15、态总体统计量的分布,例2 110kV 电网的电压波动值 V(单位：kV) 服从正态分布。随机测试 16 次电压值，试问其样本均值与总体均值的偏差小于 4kV 的概率？,若样本标准差 S = 5.5,第六章 样本及抽样分析,正态总体统计量的分布,例3 已知一批螺栓的直径 D (单位：cm) 服从正态分布 N(20, 0.052)。从中任取36个，问其平均直径落在区间（19.98，20.02）内的概率？,第六章 样本及抽样分析,正态总体统计量的分布,例4 求证,证明：,第六章 样本及抽样分析,正态总体统计量的分布,例5 求证,证明：,第七章 参数估计,参数估计,区间估计,点估计,极大似然估计,矩估计,参数估计是对已知分布类型的总体，利用样本对其未知参数作出估计,点估计 用样本的统计量 来估计总体的未知参数，就是点估计。 (一）矩估计法 用样本矩估计总体矩的方法,第七章 参数估计,点估计 例1 ，求参数的矩估计。 解：,例2 已知总体的 存在，求这两个参数。 解：,由大数定律,这说明了把样本均值作为总体期望的一个估计的合理性.,样本均值,用样本均
