《2020版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量课件 新人教b版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量课件 新人教b版选修2-1（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量,第三章 3.2 直线的方向向量与直线的向量方程,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性. 2.会求直线与平面的夹角. 3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角. 4.掌握求二面角的基本方法、步骤.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 直线与平面所成的角 1.直线与平面所成的角,90,0,射影,如图，AB，则图中，1，2之间的关系是 _,2.最小角定理,cos cos 1
2、cos 2,射影,最小的角,最小角定理,斜线和它在平面内的_所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中_,知识点二 二面角及理解 1.二面角的概念 (1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面.从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.如图所示，其中，直线l叫做二面角的 ，每个半平面叫做二面角的 ，如图中的，.,两个半平面,棱,面,(2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为，的二面角，记作l.如图，A，B，二面角也可以记作AlB，也可记作2l. (3)二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OAl，OBl，则AOB叫做二面角l的平面
3、角，如图所示.由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关. (4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角. (5)二面角的范围是0，180.,2.用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图，分别在二面角l的面，内，并沿，延伸的方向，作向量n1l，n2l，则_等于该二面角的平面角. (2)如图，设m1，m2，则角_与该二面角大小相等或互补.,n1，n2,m1，m2,1.直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角互余.( ) 2.二面角的大小范围是 .( ) 3.二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPA
4、NDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,例1 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角.,题型一 求直线与平面的夹角,解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，,方法一 取A1B1的中点M，,则MC1AB，MC1AA1. 又ABAA1A， MC1平面ABB1A1. C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角.,又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.,设侧面ABB1A1的法向量为n(，y，z)，,yz0.故n(，0,0).,又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC1与侧面ABB1
5、A1所成的角为30.,反思感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.,跟踪训练1 如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分别为PC，PB的中点，求BD与平面ADMN所成的角.,解 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，设BC1， 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)则N(1,0,1)，,设平面ADMN的法向量为n(x，y，z)，,n(1,0
6、，1)，,又090，30.,题型二 求二面角,例2 在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.,解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz. 设PAABa，ACb，连接BD与AC，交于点O，取AD中点F，连接EF，EO，FO，则C(b,0,0)，B(0，a,0),D(b，a,0)，P(0,0，a)，,EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角.,平面EAC与平面ABCD的夹角为45. 方法二 建系如方法一， PA平面ABCD，,设平面AEC的法向量
7、为m(x，y，z).,x0，yz.取m(0,1,1)，,又平面EAC与平面ABCD所成角的平面角为锐角， 平面EAC与平面ABCD的夹角为45.,反思感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.,跟踪训练2 若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC ，求锐
8、二面角APBC的余弦值.,解 如图所示建立空间直角坐标系Axyz，,设平面PAB的法向量为 m(x，y，z)，,设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，,令y1，则z1，故n(0，1，1)，,题型三 空间角中的探索性问题,例3 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD. (1)求证：ABPD；,证明 因为ABCD为矩形，所以ABAD； 又因为平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD， 所以AB平面PAD，故ABPD.,(2)若BPC90，PB ，PC2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值
9、.,解 过点P作POAD于点O. 则PO平面ABCD，过点O作OMBC于点M， 连接PM.则PMBC，,设ABt，则在RtPOM中，,以OA，OM，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，,设平面PCD的法向量为m(x1，y1，z1)，,同理设平面PBC的法向量n(x2，y2，z2)，,设平面PBC与平面DPC的夹角为，显然为锐角，,反思感悟 利用空间向量解决空间角中的探索性问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理.,跟踪训练3 如图，已知三棱柱ABCA1B1C
10、1的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1，且ABAC，点M是CC1的中点，点N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足 . (1)证明：PNAM；,证明 以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，,所以PNAM.,(2)当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角最大值的正切值.,解 过点P作PEAB于E，连接EN， 则PE平面ABC， 则PNE为所求角，,核心素养之直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,利用向量求二面角,典例 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，
11、AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角C-BE-F都是60. (1)证明：平面ABEFEFDC；,证明 由已知可得AFDF，AFFE， 所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF， 故平面ABEF平面EFDC.,(2)求二面角EBCA的余弦值.,解 过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF.,由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，,由已知ABEF，AB平面EFDC，EF平面EFDC， 所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF， 由BEAF，可得BE平面EFDC， 所以CEF为二面角C-BE-F的平面角，CEF60，,设n(
12、x，y，z)是平面BCE的法向量，,素养评析 试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入深，给不同基础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台.第(1)问侧重对立体几何中线面垂直、面面垂直等基础知识的考查，题目比较简单.求解第(2)问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐标系，并针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题.,3,达标检测,PART THREE,1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法向量，若cosm，n ，则l与所成的角为 A.30 B.60 C.120 D.150,1,2,3,4,5,解析 设l与所成的角为，则,30.,
13、1,2,3,4,5,2.正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为,1,2,3,4,5,解析 建系如图，设正方体的棱长为1， 则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，,AC1A1B，AC1A1D，又A1BA1DA1，,3.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为_.,1,2,3,4,5,解析 设二面角的平面角为，,45或135,4.正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为_.,1,2,3,4,5,解析 作AO底面BCD，垂足为O，O为BCD的中心， 设正四面体的棱长为a，,1,2,3,4,5,5.已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_.,1,2,3,4,5,设平面ABC的法向量为n(x，y，z).,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.线面角可以利用定义在直角三角形中解决. 2.线面角的向量求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为，则sin |cosa，n| . 3.二面角通常可通过法向量的夹角来求解，但一定要注意法向量的夹角和二面角的大小关系.,
