《2019届高中数学 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积课件 新人教a版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高中数学 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积课件 新人教a版必修2（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.2 球的体积和表面积,球的体积和表面积 1.球的表面无法像柱、锥、台体一样展成平面图形,怎样求出球的表面积和体积呢?就目前我们已有的知识水平还解决不了,我们不妨先记住公式,做到熟练运用.设球的半径为R,则它的体积V= R3,表面积S=4R2.观察这两个公式,它们都有什么特点? 提示:这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R唯一确定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次函数,并且表面积为半径为R的圆面积的4倍.,2.做一做:已知球的表面积是16,则该球的体积为 . 解析:设球的半径为R,则由题意可知4R2=16,解得R=2.所以球的半径为2,3.做一做: 判断下列
2、说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形. ( ) (2)若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来的4倍. ( ) (3)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,思想方法,球的表面积和体积 例1过球面上三点A,B,C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半,且AB=BC=CA=3 cm,求球的体积和表面积. 思路分析解决本题要充分利用已知条件,尤其是球半径,截面圆半径和球心距
3、构成的直角三角形.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:如图,设过A,B,C三点的截面为圆O,连接OO、AO、AO. AB=BC=CA=3 cm, O为正三角形ABC的中心, OO截面ABC, OOAO,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟球的表面积与体积的求法 因为球的表面积与体积都是球半径的函数,所以在解答这类问题时,设法求出球的半径是解题的关键.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练若两球的表面积之差为48,它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为 .,解析:设两个球的半径分别为R,r(Rr),探究一,探究二,探究三,思想方法,由三视图求与球有关的组合体的体积与表面积
4、 例2 某个几何体的三视图如图(单位:m). (1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体的体积.,探究一,探究二,探究三,思想方法,思路分析:本题条件中给出的是几何体的三视图及数据,解题时要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状,再根据侧视图与正视图确定几何体的形状,最后根据有关数据计算. 解:由三视图可知,此几何体是由一个半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组成.,反思感悟球的组合体体积的计算方法 (1)由三视图求与球有关的组合体的表面积或体积时,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积. (2)计算与球有关的组合体的
5、表面积与体积时还要注意恰当地分割与拼接,避免重叠和交叉等.,探究一,探究二,探究三,思想方法,与球有关的组合体 例3 各棱长均为 的四面体内有一内切球,求该球的体积. 思路分析:等体积法内切球的半径球的体积,解:如图,在四面体S-ABC中,取底面ABC的中心为O1,连接SO1,O1A,则SO1O1A.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟常见的球的组合问题 与球有关的组合体一般有两类,一是与球内接的组合体,在此类组合体中,球心与多面体顶点的连线是半径;二是与球外切的组合体,在这一类组合体中,球心与各切点的连线是半径.在解答与球有关的组合体问题时,要注意这些半径的应用.,探究一,探究二,探
6、究三,思想方法,延伸探究求本例所给四面体外接球的表面积.,解:设外接球半径为R,由上述例题解题过程可知,探究一,探究二,探究三,思想方法,转化与化归思想在球的接、切问题中的应用 典例 在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比. 【审题视角】 过正方体的对角面作一截面,在这个截面中用正方体的棱长、球半径的关系求解;或将球补为一个整球,利用球内接长方体求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解法一作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方体的棱长为a,探究一,探究二,探究三,思想方法,解法二将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成
7、的长方体刚好是这个球的内接长方体,则这个长方体的对角线便是它的外接球的直径. 设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,方法点睛球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来分析解决问题.,1,2,3,4,1.若两球的体积之和是12,经过两球球心的截面圆周长之和为6,则两球的半径之差为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:设两球的半径分别为R,r(Rr), 则由题意得 R-r=1. 答案:A,1,2,3,4,2.若把球的表面积扩大到原来的2倍,则体积扩大到原来的( )倍.,解析:设球变化前后的半径分别为r与r,答案:B,1,2,3,4,3.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为 .,答案:4R,1,2,3,4,4.一个正方体的外接球、正方体、正方体的内切球的表面积之比为 .,解析:设正方体的棱长为2a,外接球半径为R,内切球半径为r,所以,外接球、正方体、内切球的表面积之比为S1S2S3=(4R2)6(2a)2(4r2)=4( a)2(24a2)(4a2)=12244=36. 答案:36,
