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1、集宁一中西校区高二年级20182019学年第一学期期末考试数学文科试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）1.已知集合 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.【此处有视频，请去附件查看】2.已知抛物线的焦点坐标是（0，-3），则抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据焦点的坐标，确定抛物线的开口方向，同时求得2p的值，进而求得抛物线的方程.【详解】由于焦点坐
2、标为0,3，故焦点在y轴负半轴上，且p2=3,2p=12，故抛物线方程为x2=12y.【点睛】本小题主要考查已知抛物线的焦点坐标，求抛物线的方程，属于基础题.3.若ab1a B. 1a1b C. ab D. a2b2【答案】A【解析】由不等式的性质可得选项B,C,D正确对于选项A，由于ab0，所以1ab1a=ba(ab)0，故1ab1a因此A不正确选A4.数列2，5，22，11，的一个通项公式是（ ）A. an=3n3 B. an=3n1 C. an=3n+1 D. an=3n+3【答案】B【解析】试题分析：原数列可变为：2，5，8，,11，根号下是首项为2，公差为3的等差数列，所以原数列的通
3、项公式为an=3n1.故选B.考点：数列的通项公式.5.下列不等式一定成立的是（ ）A. a+b2ab B. a+b2ab C. x+1x2 D. x2+1x22【答案】D【解析】【分析】利用a,b,x取负数或正数时，对四个选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】当a,b,x都为负数时，A,C选项不正确.当a,b为正数时，B选项不正确.根据基本不等式，有x2+1x22x21x2=2，故选D.【点睛】本小题主要考查基本不等式应用的条件：一正二定三相等，属于基础题.6.在等比数列an中，a5a14=5，则a8a9a10a11=A. 10 B. 25 C. 50 D. 75【答案】B【解析】试题分析
4、：等比数列中若m+n=p+q(m,n,p,qN+)则所以a5a14=a8a11=a9a10=5即a8a9a10a11=25考点：等比数列性质的应用7.设集合A=1，a2,2,B=2,4，则“a=2”是“AB=4”的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】将两个条件“a=2”和“AB=4”相互推导，根据推导的结论作出选项的判断.【详解】当“a=2”时，A=1,4,2,“AB=4”.当“AB=4”时，可以为2，故不能推出“a=2”.由此可知“a=2”是“AB=4”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，
5、考查两个集合交集的概念及运算，属于基础题.8.下列有关命题的叙述错误的是（ ）A. 对于命题p: x0R,x02+x0+12”是“x23x+20”的充分不必要条件.【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识判断A选项是否正确，根据逆否命题的知识判断B选项是否正确，根据含有简单逻辑联结词命题真假的知识判断C选项是否正确，根据充分必要条件的知识判断D选项是否正确.【详解】对于A选项，p为特称命题，其否定为全称命题，叙述正确.对于B选项，逆否命题是交换条件和结论，并同时进行否定，叙述正确.对于C选项，pq为假命题，则p,q中至少有一个假命题，故C选项叙述错误.对于D选项.由x23x
6、+20解得x2，故x2是x23x+20的充分不必要条件.综上所述，本题选C.【点睛】本小题主要考查特称命题的否定、考查逆否命题，考查含有逻辑连接词命题真假性判断，考查充分、必要条件的判断以及考查一元二次不等式的解法等知识.全称命题和特称命题互为否定.逆否命题是交换条件和结论，并同时进行否定. pq为假命题，则p,q中至少有一个假命题. pq为真，则p,q都是真命题.9.若变量x，y满足约束条件x+y30xy+10y1，则z=2xy的最大值为A. 1 B. 0 C. 3 D. 4【答案】C【解析】试题分析：画出可行域为一个三角形，再画出目标函数，通过平移可知，在点(2,1)处取得最大值，最大值为
7、3.考点：本小题主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值，考查学生画图、用图的能力.点评：对于线性规划知识，关键是正确画出可行域和目标函数.10.已知正数，b是方程x2+mx+8=0的两个根，则a+b的最小值是（ ）A. 8 B. 42 C. 22 D. 82【答案】B【解析】【分析】根据韦达定理可得ab=8，再根据基本不等式求得a+b的最小值.【详解】根据题意可得ab=8，且a,b为正数，由基本不等式得a+b2ab=42，当且仅当a=b=22时等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查韦达定理，考查利用基本不等式求和式的最小值.属于基础题.11.在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距
8、离为5，则 p的值为（ ）A. 12 B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】试题分析：抛物线的准线方程为x=-p2，由抛物线的定义知4+p2=5，解得P=2故选C考点：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质。点评：简单题，运用抛物线焦半径公式。12.过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为1的直线，交抛物线于A,B两点,若AF=FB 1，则等于（ ）A. 2+1 B. 3+22 C. 5+1 D. 3+1【答案】B【解析】【分析】求出F的坐标，根据点斜式写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，解得A,B两点的坐标，根据AF=FB，求得的值.【详解】依题意可知，抛物线的焦点为F1,0，由点斜
9、式得直线的方程为y=x1，代入抛物线方程得x12=4x，解得A3+22,2+22,B322,222，故AF=222,222,FB=222,222，由于AF=FB，即222=222，解得=3+22.故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查抛物线的焦点坐标，考查直线的点斜式方程，考查了求解直线和抛物线交点坐标的方法，考查向量共线的坐标表示，属于中档题.对于抛物线y2=2px来说，其焦点坐标为p2,0.直线的点斜式方程为yy0=kxx0.二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30，灯塔
10、B在观察站C南偏东30处，则两灯塔A、B间的距离为_【答案】700米【解析】【分析】先求得ACB的值，然后利用余弦定理求得A,B两点间的距离.【详解】依题意可知ACB=1803030=120，由于AC=300,BC=500，根据余弦定理得AB2=AC2+BC22ACBCcos120，解得AB=700米.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题，要注意的是，填空题要写单位.14.过抛物线y2=2x的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=3，则|PQ|=_【答案】4【解析】【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式，求得PQ的值.【详解】依题意，抛物线p=
11、1，由于过抛物线焦点的弦长公式为x1+x2+p，故PQ=x1+x2+p=3+1=4.【点睛】本小题主要考查过抛物线焦点的弦长公式，考查抛物线的几何性质，属于基础题.15.点P是双曲线x29y216=1上一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|10，则|PF2|=_【答案】4或16【解析】【分析】根据双曲线的定义列方程，解方程求得PF2的值.【详解】根据双曲线的定义可知PF1PF2=2a=6，即10PF2=6，10PF2=6，解得PF2=4或16.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查含有绝对值的方程的解法，属于基础题.16.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F，A(a,0
12、)，B(0,b)是两个顶点，如果F到直线AB的距离等于b7，则椭圆的离心率为_.【答案】12【解析】试题分析：设F1到AB的垂足为D，因为F1DA=BOA=900,A为公共角，所以ADF1AOB，所以AF1AB=DF1OB，所以aca2+b2=b7b=77，因为b2=a2c2，所以(ac)22a2c2=17，化简得到5a214ac+8c2=0，解得a=2c或a=45c（舍去），所以e=ca=12.考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程、三角形相似与相似比的应用，以及椭圆中b2=a2c2等知识点的综合考查，本题的解答中利用左焦点F1到AB的
13、距离建立等式是解得的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，17-21每题12分，22题10分，共70分）17.记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=7，S3=15 （1）求an的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得Sn的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15
14、由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（1）求sinBsinC ；（2）若BAC=60,求B.【答案】（1）12；（2）30【解析】试题分析：（1）由角平分线定理可将BD=2DC转化为AB=2AC，在三角形ABC中利用正弦定理可求得sinBsinC的比值；（2）由内角和定理可得B+C=120，将C用B表示，代入（1）的结论中可得到关于B的三角函数值，求得B角试题解析：（1）由正弦定理得ADsinB=BDsinBAD,ADsinC=DCsinCAD,因为
