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1、2 集合的基本关系,一,二,三,四,五,一、子集,符号“”与“”的区别 (1)“”是表示元素与集合之间的关系,比如1N,-1N. (2)“”是表示集合与集合之间的关系,比如NR,1,2,33,2,1. (3)“”的左边是元素,右边是集合,而“”的两边均为集合.,一,二,三,四,五,二、Venn图 为了直观地表示集合间的关系,我们常用封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.如图所示,集合A是集合B的子集.,一,二,三,四,五,三、集合相等,【做一做1】 下列说法不正确的是( ) A.0,1,2=2,1,0 B.=xR|x2+1=0 C.(1,2)=1,2 D.若M,N,Q表示集合,且M=Q,N=
2、Q,则M=N 解析:根据集合相等的定义可知A,B,D正确,C错误,故选C. 答案:C,一,二,三,四,五,四、真子集,【做一做2】 用适当的符号填空(,=,). (1)0,1 N; (2)2 x|x2=x; (3)2,1 x|x2-3x+2=0. 答案:(1) (2) (3)=,一,二,三,四,五,五、两个规定 (1)空集是任何集合的子集,即A. (2)空集是任何非空集合的真子集,即A(A). 【做一做3】 下列表述正确的有( ) 空集没有子集; 任何集合都有至少两个子集; 空集是任何集合的真子集; 若A,则A. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:,故错误;只有一个子集,即它本身,
3、故错误;空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故错误;正确,故选B. 答案:B 【做一做4】 集合A=-1,1的所有子集有 . 答案:,-1,1,-1,1,一,二,三,四,五,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若一个集合中含有n个元素,则该集合的非空子集个数为2n. ( ) (2)空集是任意集合的子集. ( ) (3)与的关系为=. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,判断集合间的关系 【例1】 判断以下给出的各对集合之间的关系. (1)A=x|x是矩形,B=x|x是平面四边形; (2)A=x|
4、x2-x=0,B=x|x2-x+1=0; (3)A=x|0x1,B=x|0x3; (4)A=x|x=2k-1,kZ,B=x|x=2k+1,kZ. 分析:对于(1)(4),可分析集合中元素的特征性质判断两集合的关系;对于(2),要注意空集的特殊性;对于(3),可借助数轴进行判断.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:(1)由于矩形一定是平面四边形,但平面四边形不一定是矩形,由真子集定义知,集合A是集合B的真子集,即AB. (2)由于A=x|x2-x=0=0,1,而集合B中的方程x2-x+1=0没有实数解,即B=,所以BA. (3)由数轴(如图所示)可知AB.,(4)当kZ时,2k-1是
5、奇数,且能取到所有的奇数;当kZ时,2k+1也是奇数,也能取到所有的奇数,因此集合A和集合B都表示所有奇数的集合,即A=B.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,判断两个集合之间的关系的方法 (1)对于有限集合,特别是元素个数较少时,可将元素一一列举出来进行判断; (2)对于无限集合,特别是用描述法表示的集合,应从特征性质入手进行分析判断,看其元素之间具备什么关系,从而得到集合间的关系; (3)当集合是不等式的解集时,可借助数轴分析判断集合间的关系.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,A.MN B.MN C.NM D.NM 解析:设n=2m或n=2m+1,mZ,答案:B,探究一,
6、探究二,探究三,探究四,易错辨析,确定给定集合的子集、真子集 【例2】 写出集合M=x|x(x-1)2(x-2)=0的所有子集,并指明哪些是集合M的真子集. 分析:先解方程x(x-1)2(x-2)=0,求出其所有的根,从而确定集合M中的元素,再按照子集、真子集的定义写出子集,并判断哪些是真子集. 解:解方程x(x-1)2(x-2)=0,可得x=0或x=1或x=2,故集合M=0,1,2. 由0个元素构成的子集为; 由1个元素构成的子集为0,1,2; 由2个元素构成的子集为0,1,0,2,1,2; 由3个元素构成的子集为0,1,2. 因此集合M的所有子集为,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,
7、1,2. 其中除集合0,1,2以外,其余的子集全是集合M的真子集.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1.求一个有限集合的子集(真子集)时,首先要确定该集合的全部元素,然后按照子集中所含元素的个数分类,分别写出符合要求的子集(真子集).在写子集时,注意不能忘记空集和集合本身. 2.与子集、真子集个数有关的四个结论 假设集合A中含有n个元素,则有: (1)A的子集的个数为2n; (2)A的真子集的个数为2n-1; (3)A的非空子集的个数为2n-1; (4)A的非空真子集的个数为2n-2.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2若1,2,3A1,2,3,4,5,则集合A的个
8、数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:集合1,2,3是集合A的真子集,同时集合A又是集合1,2,3,4,5的子集,所以集合A只能取集合1,2,3,4,1,2,3,5和1,2,3,4,5. 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,集合相等及其应用 【例3】已知集合A=2,x,y,B=2x,2,y2,若A=B,求x,y的值. 分析:A=B列方程组解方程组求x,y 解:A=B,集合A与集合B中的元素相同.,经检验,当x=0,y=0时,A=2,0,0,这与集合元素的互异性相矛盾,舍去.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同
9、,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等. 2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合元素的互异性. 3.找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,答案:1,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,根据子集关系确定参数范围 【例4】 已知集合A=x|-5x2,B=x|2a-3xa-2. (1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系; (2)若AB,求实数a的取值范围. 分析:(1)令a=-1,写出
10、集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论,然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:(1)若a=-1,则B=x|-5x-3. 如图在数轴上标出集合A,B. 由图可知,BA. (2)由已知AB. 当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立. 当B时,2a-3a-2,解得a1. 由已知AB,如图在数轴上表示出两个集合,又因为a1,所以实数a的取值范围为-1a1.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1.已知两个集合之间的关系求参数的值(或范围
11、)时,要明确集合中的元素,通常依据相关的定义,把这两个集合中元素的关系转化为解方程(组)或解不等式(组). 2.对于给定的集合是不等式的解集时,这类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心圆圈表示.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练4(1)【例4】(2)中,是否存在实数a,使得AB?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由. (2)若集合A=x|x2,且AB,求实数a的取值范围. 解:(1)因为A=x|-5x2,所以若AB,则B一定不是空集.,(2)当B=时,
12、2a-3a-2,解得a1.显然成立. 当B时,2a-3a-2,解得a1. 由已知AB,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可知2a-32或a-2-5,解得a 或a-7. 又因为a1,所以a-7. 综上,实数a的取值范围为a1或a-7.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,忽视空集这一情况而致误 【典例】 已知集合P=x|x2+x-6=0,Q=x|mx-1=0,若QP,则实数m的值为 . 错解:由P=x|x2+x-6=0,得P=-3,2;,错因分析:当集合Q=,即m=0时,显然也满足QP,错解中少了这种情况.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析
13、,空集是一种特殊的集合,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,当QP时,Q为空集的情况容易被忽略,因此,当条件不明确时,要注意分情况来讨论,本题中若不考虑Q为空集的情况,将会丢掉m=0这个解.,1,2,3,4,5,1.如图所示,对A,B,C,D的关系描述正确的是( ) A.BC B.DA C.AB D.AC 解析:结合图示及子集的概念可知,A中的任一元素,都是C中的元素,且C中存在元素不在A中,故AC. 答案:D,1,2,3,4,5,2.集合A=x|x2=x,xR,满足条件BA的所有集合B的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:A=0,1,BA,集合B的个数为22=4. 答
14、案:D,1,2,3,4,5,3.在下列各式中:10,1,2;10,1,2;0,1,20,1,2;0,1,2;0,1,3=3,0,1.其中错误的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由集合与集合及元素与集合之间的关系可知正确,错误,正确,正确,正确,故错误的个数为1. 答案:A,1,2,3,4,5,4.设A=x|1x2,B=x|x-a0,若AB,则a的取值范围是 . 解析:由题意可知B=x|xa.结合数轴 要使AB,则需a2. 答案:a2,1,2,3,4,5,5.设集合A=x,y,B=2,x2-2.若A=B,求实数x,y的值. 分析:本题已知的两个集合中均含有参数,且这两个集合相等,可从集合相等的概念着手,转化为元素间的相等关系. 解:因为A=B,所以x=2或y=2. 当x=2时,x2-2=2,则B中元素2重复出现,此时不满足集合元素的互异性,故舍去; 当y=2时,应有x=x2-2,解得x=-1或x=2(舍去). 此时A=-1,2,B=2,-1,满足条件. 综上可知,x=-1,y=2.,
