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1、欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707-1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用表示圆周率、表示自然对数的底、表示函数、表示求和、表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以
2、欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献1中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1 形状为 （1）的方程称为欧拉方程. （其中，为常数）2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如的解）二阶齐次欧拉方程： . （2）(其中,为已知
3、常数）我们注意到，方程（2）的左边、和的系数都是幂函数（分别是、和），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数来尝试，看能否选取适当的常数，使得满足方程（2）.对求一、二阶导数，并带入方程（2），得或,消去，有 . （3）定义2 以为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数满足特征方程（3），则幂函数就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理1 方程（2）的通解为(i) , （是方程（3）的相等的实根）(ii), (是方程（3）的不等的实根)(iii).（是方程（3）的一对共轭复根）（其中、为任意常数）证明
4、（i）若特征方程（3）有两个相等的实根: ，则是方程（2）的解,且设，（为待定函数）也是方程（2）的解（由于，即，线性无关），将其带入方程（2），得,约去，并以、为准合并同类项，得.由于是特征方程（3）的二重根，因此或,于是，得或,即 ,故 .不妨取，可得方程（2）的另一个特解,所以，方程（2）的通解为.（其中，为任意常数）（ii）若特征方程（3）有两个不等的实根: ，则，是方程（2）的解.又不是常数，即，是线性无关的.所以，方程（2）的通解为.（其中，为任意常数）（iii）若特征方程（3）有一对共轭复根：（），则，是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有，,显然，和 是方程（2）的两个线性无关
5、的实函数解.所以，方程（2）的通解为.（其中，为任意常数）例1求方程的通解.解 该欧拉方程的特征方程为，即 ,其根为： ,所以原方程的通解为.（其中，为任意常数）例2 求方程的通解.解 该欧拉方程的特征方程为，即 ,其根为： ，所以原方程的通解为.（其中，为任意常数）例3 求方程的通解.解 该欧拉方程的特征方程为，即 ,其根为： ,所以原方程的通解为.（其中，为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：. （4） （其中，为已知实常数，为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设，, （5）则方程（4）变为，即, （6）根据韦达定理，由（5）式可
6、知，是一元二次代数方程 （3）的两个根.具体求解方法：定理2 若，为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 . （7）证明 因为，为方程（2）的两个特征根，于是方程（4）等价于方程（6），令 ,代入方程（6）并整理，得和,解之，得方程（4）的通解为.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3 若， 为方程（2）的两个特征根，则（i）当是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为,（ii）当是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为,（iii）当是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）
7、的通解为证明 （ii）当是方程（2）的互不相等的的实特征根时，将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得 （8）（iii）当是方程（2）的共轭复特征根时，再由欧拉公式有,将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为（i）的证明和（ii）类似.例1求方程的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为，特征根为 ,所以由定理3，原方程的通解为（其中，为任意常数）例2求方程的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为，特征根为 ，所以由定理3，原方程的通解为（其中，为任意常数）例3求方程的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为，特征根为 ,所以由定理3，原方程的通解为（其中，为任意
8、常数）在定理3中，若令，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论 方程（2）的通解为(i), （是方程（2）的相等的实特征根）(ii), （是方程（2）的不等的实特征根）(iii).（是方程（2）的共轭复特征根）（其中，为任意常数）2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：. （9）（其中，为常数） （9）对应的齐次方程为. （10）特征方程为. （11）定理4 设是方程（11）的根，是方程的根，则（9）的通解为 . （12）证明 根据条件（为任意常数）是方程（10）的解.设是方程（9）的解（其中是待定的未知数），将其代入方程（9），整理得 （13）因为是（11）的根，则
9、,于是（13）式化为（14）这是以为未知函数的二阶欧拉方程.设为（14）对应的齐次方程的特征方程, （15）的根，则.从而.故方程（1）的通解为.定理5 设是方程（11）的根，是方程（15）的根，则（i）当是方程（11）的单实根，是方程（15）的单实根，则（9）的通解为（ii）当是方程（11）的单实根，是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为（其中，）(iii）当是方程（11）的单实根，是方程（15）的重实根，则（9）的通解为,（iv）当是方程（11）的三重实根，方程（15）变为，有，则（9）的通解为.证明 （i）因为是方程（15）的单实根，得（14）的通解为则（9）的通解为（ii）因为是方程
10、（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根,得（14）的通解为则（9）的通解为（其中，）（iii）因为是方程（15）的重实根，得（9）的通解为.（iv）当是方程（10）的三重实根（），方程（15）变为，有，将，代入（12）式得,对上式分部积分得（9）的通解为.例1 求三阶欧拉方程的通解.解 原方程对应的齐次方程为,其特征方程为，解得其特征根为，取 ，将，代入方程（15），得,解得或，利用定理5（i）的通解公式有.（其中，为任意常数）例2 求三阶欧拉方程的通解.解 原方程对应的齐次方程为,其特征方程为，从而解得特征单实根为，将，代入方程（15），得到，解得 .令，则，利用定理5（ii）的通
11、解公式有（其中，为任意常数）2.4 阶齐次欧拉方程的求解（求形如的解）令是方程（1）的解，将其求导（需要求出、）代入方程（1），并消去，得 . (16）定义3 以为未知数的一元次方程（16）称为阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.由此可见，如果选取是特征方程（16）的根，那么幂函数就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6 方程（1）的通解为（其中，为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：方程（16）的根方程（1）通解中的对应项单实根：给出一项：一对单共轭复根：给出两项：重实根：给出项：一对重共轭复根：给出项：例1 求方程的通
12、解.解 该欧拉方程的特征方程为,整理，得，其根为，所以原方程的通解为.（其中，为任意常数）例2 求方程的通解.解 该欧拉方程的特征方程为，整理，得，其根为，（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为.（其中，为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在范围内对其求解，则文中的所有都将变为，所得的结果和范围内的结果相似.4.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础.其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过
