《2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十五）立体几何中的向量方法 理（重点高中）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十五）立体几何中的向量方法 理（重点高中）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时跟踪检测（四十五） 立体几何中的向量方法(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值等于()A.B.C. D.解析：选D建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，.故cos，.2在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，二面角BAA1C1的大小为60，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为()A. B.C. D2解析：选A由题意可知，BAC60，点B到平面ACC1A1的距离为，
2、点C到平面ABB1A1的距离为2，所以在三角形ABC中，AB2，AC4，BC2，ABC90，则()()4，|2，|4，cos，故tan，.3.如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，D是棱PB的中点，已知PABC2，AB4，CBAB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为()A BC. D.解析：选D因为PA平面ABC，所以PAAB，PABC.过点A作AECB，又CBAB，则AP，AB，AE两两垂直如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(4,0,0)，C(4，2,0)因为D为PB的中点，所以
3、D(2,0,1)故(4,2,2)，(2,0,1)所以cos，.设异面直线PC，AD所成的角为，则cos |cos，|.4.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选A设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B1，F(1,0,1)，E，G(0,0,2)，(1,0，1)设平面GEF的法向量n(x，y，z)，则即取x1，则z1，y，故n为平面GEF的一个法向量，所以cosn，所以B1F
4、与平面GEF所成角的正弦值为.故选A.5在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选B以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则即n1(1,2,2)又平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.6.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和正方形ADD1A1
5、的中心，则EF和CD所成的角的大小是_解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则D(0,0，0)，C(0，1,0)，E，F，(0,1,0)，cos，135，异面直线EF和CD所成的角的大小是45.答案：457.如图，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，AB2，CF3.若直线FO与平面BED所成的角为45，则AE_.解析：如图，以O为原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系设AEa，则B(0，0)，D(0，0)，F(
6、1,0,3)，E(1,0，a)，(1,0,3)，(0,2，0)，(1，a)设平面BED的法向量为n(x，y，z)，则即则y0，令z1，得xa，n(a,0,1)，cosn，.直线FO与平面BED所成角的大小为45，解得a2或a(舍去)，AE2.答案：28.如图，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是等腰梯形，ABCD，且ACBD，AC与BD交于O，PO底面ABCD，PO2，AB2，E，F分别是AB，AP的中点则二面角F OE A的余弦值为_解析：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题知，OAOB2，则A(0，2,0)，B(2,0,
7、0)，P(0,0,2)，E(1，1,0)，F(0，1,1)，则(1，1,0)，(0，1,1)，设平面OEF的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，可得m(1,1,1)易知平面OAE的一个法向量为n(0,0,1)，则cosm，n.由图知二面角FOEA为锐角，所以二面角FOEA的余弦值为.答案：9(2017全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值解：(1)证明：由题设可得，ABDCBD，从而ADDC.又AC
8、D是直角三角形，所以ADC90.取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO.又因为ABC是正三角形，所以BOAC.所以DOB为二面角DACB的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.所以平面ACD平面ABC.(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0,0)，D(0,0,1)由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即
9、E为DB的中点，得E.故(1,0,1)，(2,0,0)，.设n(x1，y1，z1)是平面DAE的法向量，则即可取n.设m(x2，y2，z2)是平面AEC的法向量，则即可取m(0，1，)则cosn，m.由图知二面角DAEC为锐角，所以二面角DAEC的余弦值为.10(2017山东高考)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小解：(1)因为APBE，ABBE，AB平面ABP，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面A
10、BP，所以BEBP.又EBC120，所以CBP30.(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)，设m(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.由图知二面角EAGC为锐角，故所求二面角EAGC的大小为60.B级拔高题目稳做准做1(2017天津高考)如图
11、，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.(1)求证：MN平面BDE；(2)求二面角CEMN的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长解：由题意知，AB，AC，AP两两垂直，故以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系依题意可得A(0，0,0)，B(2，0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)(1)证明：(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z
12、)为平面BDE的法向量，则即不妨取z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.(2)易知n1(1,0,0)为平面CEM的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面EMN的法向量，又(0，2，1)，(1,2，1)，则即不妨取y11，可得n2(4,1，2)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以二面角CEMN的正弦值为.(3)依题意，设AHh(0h4)，则H(0,0，h)，进而可得(1，2，h)，(2,2,2)由已知，得|cos，|，整理得10h221h80，解得h或h.所以线段AH的长为或.2.(2018东北四市模拟)如图，四棱锥PAB
13、CD的底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，ADAP，E为棱PD的中点(1)求证：PD平面ABE；(2)若F为AB的中点， (01)，试确定的值，使二面角PFMB的余弦值为.解：(1)证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ADAB，PAADA，AB平面PAD.PD平面PAD，PDAB.E是PD的中点，ADAP，AEPD.又AEABA，PD平面ABE.(2)以A为坐标原点，以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，令AB2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，F(1，0,0)，(1,0，2)，(1,0,0)，(2,2，2)， (01)，(2，2，2)，M(2，2，22)，(21,2，22)设平面PFM的法向量为m(x1，y1，z1)，则即令z11，则m(2，1,1)为平面PFM的一个法向量设平面BFM的法向量为n(x2，y2，z2)，则即令z2，则n(0，1，)为平面BFM的一个法向量|cosm，n|，解得.3.(20
