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1、数学物理方法,数学物理定解问题,数学物理方程的一般分类,一般分类 按自变量的个数，分为二元和多元方程； 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和非线性微分方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程. 线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程,2元二阶线性微分方程的分类,一般形式: a uxx+ b uxy+ c uyy+ d1ux+ d2uy + e u = f(x,y) 特征方程： a x2 + bxy + cy2 = 0 判别式 = b2 4ac 分类 0 为双曲型，如波动方程；
2、 = 0 为抛物线型，如热传导方程； 0 为椭圆型，如泊松方程和Laplace方程.,定解问题,问题的提出 定解条件 初始条件 边界条件 定解问题 初值问题 边值问题 混合问题,初始条件,意义 反映系统的特定历史 分类 初始状态（位置），用 u |t=0 = f(x)表示； 初始变化（速度），用 ut|t=0 = g(x)表示.,边界条件,意义 反映特定环境对系统的影响 分类 按条件中未知函数及其导数的次数分： 线性边界条件和非线性边界条件； 线性边界条件中 按给出的是函数值或导数值分： 第一、二、三类边界条件； 按所给数值是否为零分： 齐次边界条件和非齐次边界条件.,定解问题,定解问题的组成
3、 泛定方程：反映同一类现象的普遍性； 定解条件：描述具体对象的特殊性. 定解问题的分类 初值问题(Cauchy Problem) 无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计） 边值问题 无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计） 第一边值问题(Dirichlet Problem) 第二边值问题(Neumann Problem) 第三边值问题(Robin Problem) 混合问题 同时有边界条件和初始条件.,定解问题,定解问题的适定性 适定性的意义 定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型能否反映实际问题的一般要求. 适定性的内容 存在性 唯一性 稳定性 不适定问题举例 一般来说，方程的阶数
4、对应于定解条件的个数； 条件多了，将会破坏解的存在性； 条件少了，将会破坏解的唯一性.,波动方程 输运方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一类 第二类 第三类 周期性 有界性,演化方程 稳定方程 线性边界条件 自然边界条件 初始状态 初始速度,泛定方程 边界条件 初始条件,定解问题,本课程的主要内容:,一、分离变量法,1.有界弦的自由振动 (第2.1节),2. 有限长杆上的热传导 (第2.2节),3.拉普拉斯方程-圆形区域 (第2.3节),4. 非齐次方程的解法 (第2.4节),二、行波法,1.一维波动方程的达朗贝尔公式 (第3.1节),补充 这个方程非齐次方程的解法(Duhamel原理).,三、积分变换法,1.无限杆上的热传导问题-Fourier变换法,2.半无限杆上的热传导问题-Laplace变换法,第3.3节 例1, 补充 Fourier变换,第3.3节 例2, 补充 Laplace变换,四、拉普拉斯方程的格林函数法 (第四章),1. 拉普拉肆方程边值问题的提法 (第4.1节),2. 格林公式 (第4.2节),3. 格林函数 (第4.3节),4. 两种特殊区域上的格林函数及其 狄氏问题的解 (第4.4节),
