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1、点线面位置关系知识点总结【空间中的平行问题】（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 （线线平行线面平行）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行线线平行）（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行面面平行）垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：如果两个平面
2、平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行线面平行）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行线线平行）【空间中的垂直问题】（1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂
3、直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。【空间角问题】（1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角平
4、面的平行线与平面所成的角：规定为 平面的垂线与平面所成的角：规定为平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，解题时，注意挖掘题设中两个信息：斜线上一点到面的垂线；过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角
5、的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角练习题一、选择题(每小题4分，共52分)1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）2已知在四面体中，分
6、别是的中点，若，则与所成的角的度数为（） 3三个平面把空间分成部分时，它们的交线有（）条条条条或条4在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为( ) A B C D 5直三棱柱中，各侧棱和底面的边长均为，点是上任意一点，连接，则三棱锥的体积为（ ）A B C D6下列说法不正确的是（ ）A空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B同一平面的两条垂线一定共面；C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.7设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若，则 若，则 若，则 若，则 其
7、中正确命题的序号是 ( )A和B和C和D和8若长方体的三个面的对角线长分别是，则长方体体对角线长为（ ） A B C D9在三棱锥中,底面,则点到平面的距离是( ) A B C D10在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（ ） A B C D11三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为的（ ）A内心 B外心 C垂心 D重心12在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角的余弦值为（ ）A B C D 13四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）A B C D二、填空题(每小题4分，共20分)1点到平面的距离分别为和，则线段的中点到平面的距离为_
8、2从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_。3一条直线和一个平面所成的角为，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是_4正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_。5在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是_三、解答题1已知直线，且直线与都相交，求证：直线共面。（15分）2 如图：是平行四边形平面外一点，分别是上的点，且=， 求证：平面（15分）3正方体中，是的中点求证：平面平面（15分）4求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂
9、直。（15分）5.在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，、分别为的中点。（18分）（）证明：；（）求二面角-的大小；（）求点到平面的距离。参考答案一、选择题 1.C 正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即， 2.D 取的中点，则则与所成的角3.C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线4.C 利用三棱锥的体积变换：，则5.B 6. D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了7 A 若，则，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 若，则，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交8C 设同一顶点的三条棱分别为，则得，则对角线长为9B 作等积变换10B 垂直于在平面上的射影11C 12C取的中点，取的中点，13C 取的中点，则，在中，二、填空题1.或 分在平面的同侧和异侧两种情况2. 每个表面有个，共个；每个对角面有个，共个3. 垂直时最大 4. 底面边长为，高为， 5. 沿着将正三棱锥侧面展开，则共线，且三、解答题 1证明：，不妨设共面于平面，设 ，即，所以三线共面2略3略4略5略
