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1、2.5平面向量应用举例教学设计【教学目标】1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神. 【导入新课】回顾提问：（1）若O为重心,则+=.（2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及
2、用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来.新授课阶段探究一：（）向量运算与几何中的结论若，则，且所在直线平行或重合相类比，你有什么体会？（）由学生举出几个具有线性运算的几何实例教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行中，设,，则（平移），（长度）向量，的夹角为.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等把运算结果 “翻译”成几何关系本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量
3、方法在平面几何中的运用例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和已知：平行四边形ABCD求证：分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积注意到， ，我们计算和证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2得( a+b)( a+b)= aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理,|a|2-2ab+|b|2 +得 2(|a|2+|b|2)=2()所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和师：你能用几何方法解决这个问题吗？让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况.师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有
4、优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设（1）证明A、O、E三点共线；（2）用表示向量.例2 如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由于
5、R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可解：设a，b，则a+b因为与共线，因此，存在实数m，使得=m(a+b)又因为与共线，因此存在实数n，使得=n= n(b- a)由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)整理得ab0由于向量a、b不共线，所以有解得所以同理 于是 所以 ARRTTC说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么？师：向量在物理中的
6、应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象例3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释解：不妨设|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四边形法则，物理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F1|=通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大
7、，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：为何值时，|F1|最小，最小值是多少？|F1|能等于|G|吗？为什么？例4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸（用几何画板演示水流速度对船的实际航行的影响）解：=(km/h)，所以，
8、 (min)答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了.例5 已知 ,的夹角为60o,当实数为何值时，？解：若，得；若，得例6 如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：PA=EF； PAEF. 解：以D为原点，为x轴正方向建立直角坐标系，则A(0,1), C:(1,0)， B:(1,1). 故例7 如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点， 求证：PA2+PB2+PC2+PD2=
9、8r2.证明:即例8 已知P为ABC内一点，且345延长AP交BC于点D，若，用、表示向量、解：， ，又 345， 34（）5（），化简，得 设t（tR），则t t 又设 k（kR），由 ，得 k（）而 ， k（）（1k）k. 由，得解得 t 将之代入，有课堂小结利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1） 建立平面几何与向量的联系，（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3） 把运算结果“翻译”成几何关系.作业见同步练习拓展提升一、 选择题1.给出下面四个结论： 若线段AC=AB+BC，则向量； 若向量，则线段AC=AB+BC； 若向量与共线，则线段AC=AB+BC; 若向量与反向共线，则.其中正确的结论有 （ ）A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个2.河水的流速为2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为 （ ）A.10 B. C. D.123.在中，若=0，则为 ( ）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定二、填空题4.已知两边的向量，则BC边上的中线向量用、表示为 .参考答案1.B 2.B 3.C 4.7
