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1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至2页，第卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件、互斥，那么如果事件、相互独立，那么圆柱的体积
2、公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则ABCD2设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A2B3C5D63设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为A5B8C24D295已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为ABCD6已知，则的大小关系为ABCD7已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
3、，所得图象对应的函数为若的最小正周期为，且，则ABCD8已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为ABCD绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共12小题，共110分。二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9是虚数单位，则的值为_10是展开式中的常数项为_11已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_12设，直线和圆（为参数）相切，则的值为_13设，则的最小值为_14在四边形
4、中，点在线段的延长线上，且，则_三解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为已知，（）求的值；（）求的值16（本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率17（本小题满分13分）如图，平面，（）求证：平面；（）求直线与平
5、面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值为，求线段的长18（本小题满分13分）设椭圆的左焦点为，上顶点为已知椭圆的短轴长为4，离心率为（）求椭圆的方程；（）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上若（为原点），且，求直线的斜率19（本小题满分14分）设是等差数列，是等比数列已知（）求和的通项公式；（）设数列满足其中（i）求数列的通项公式；（ii）求20（本小题满分14分）设函数为的导函数（）求的单调区间；（）当时，证明；（）设为函数在区间内的零点，其中，证明绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一选择题：本题考查基本知识
6、和基本运算每小题5分，满分40分1D2C3B4B5D6A7C8C二填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分30分91011121314三解答题15本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力，满分13分（）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即又因为，得到，由余弦定理可得（）解：由（）可得，从而，故16本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分13分（）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：
7、30之前到校的概率均为，故，从而所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望（）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（）知 17本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分13分依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，设，则（）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面（）解：依题意，设为平面的法向量，则即不妨令，可得因此有所以，直线与平
8、面所成角的正弦值为（）解：设为平面的法向量，则即不妨令，可得由题意，有，解得经检验，符合题意所以，线段的长为18本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分13分（）解：设椭圆的半焦距为，依题意，又，可得，所以，椭圆的方程为（）解：由题意，设设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率在中，令，得由题意得，所以直线的斜率为由，得，化简得，从而所以，直线的斜率为或19本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识考查化归与转化思想和数列求和
9、的基本方法以及运算求解能力满分14分（）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为依题意得解得故所以，的通项公式为的通项公式为（）（i）解：所以，数列的通项公式为（ii）解： 20本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法考查函数思想和化归与转化思想考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力满分14分（）解：由已知，有因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增所以，的单调递增区间为的单调递减区间为（）证明：记依题意及（），有，从而当时，故因此，在区间上单调递减，进而所以，当时，（）证明：依题意，即记，则，且由及（），得由（）知，当时，所以在上为减函数，因此又由（）知，故所以，11
