《2020版高考数学（文）大一轮复习导学案：第三章 三角函数、解三角形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（文）大一轮复习导学案：第三章 三角函数、解三角形（165页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数基础梳理1任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角(2)终边相同角：与终边相同的角可表示为：|2k，kZ2弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角(2)角的弧度数公式：|.(3)角度与弧度的换算：3602 rad,1 rad,1 rad()5718.(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：lr.面积公式：Slrr2.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P
2、(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线4终边相同的角的三角函数sin(k2)sin_，cos(k2)cos_，tan(k2)tan_(其中kZ)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等1一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦2两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用3三角函数定义的推广
3、设点P(x，y)是角终边上任意一点且不与原点重合，r|OP|，则sin ，cos ，tan .4四种角的终边关系(1)，终边相同2k，kZ.(2)，终边关于x轴对称2k，kZ.(3)，终边关于y轴对称2k，kZ.(4)，终边关于原点对称2k，kZ.四基自测1(教材改编)单位圆中，200的圆心角所对的弧长为()A10B9C. D.答案：D2(教材改编)若角满足tan 0，sin 0，则角所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：C3(教材改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)答案：C4(教材
4、精编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案：5已知角的终边过点(4,3)，则cos sin _.答案：考点一终边相同的角及象限角 例1(1)已知sin 0，cos 0，则所在的象限是()A第一象限B第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限解析：因为sin 0，cos 0，所以为第二象限角，即2k2k，kZ，则kk，kZ.当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角，故选C.答案：C(2)(2019福州模拟)与2 010终边相同的最小正角是_解析：因为2 010(6)360150，所以150与2 010终边相同，又终边相同的两个角相差360的整数倍，所以在0360中
5、只有150与2 010终边相同，故与2 010终边相同的最小正角是150.答案：1501.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间(3)起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合2.象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角(2)转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角拓展求或n(nN*)所在象限的方法(1)将的范围用不等式
6、(含有k)表示(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论，得到或n(nN*)所在的象限提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角的终边逆时针旋转180可得角180的终边，类推可知k180(kZ)表示终边落在角的终边所在直线上的角1设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析：因为是第三象限角，所以2k2k(kZ)，故kk(kZ)，当k2n(nZ)时，2n2n(nZ)，是第二象限角，当k2n1时，2n2n(nZ)，是第四象限角，又cos ，即cos 0，因此是第二象限角答案：B2集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：当k2n(nZ)时，2n2
7、n，nZ，此时的终边和的终边一样，当k2n1时，2n2n，此时的终边和的终边一样答案：C考点二扇形弧长、面积公式的应用例2(1)(2019合肥模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田三三：“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为()A120平方步B240平方步C360平方步 D480平方步解析：由题意可得：S830120(平方步)答案：A(2)(2019太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin 2C. D2 sin 1解析：如图：AOB
8、2弧度，过O点作OCAB于C，并延长OC交弧AB于D.则AODBOD1弧度，且ACAB1，在RtAOC中，AO，即r，从而弧AB的长为lr.答案：C应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形1(2019成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_解析：设圆的半径为R，则圆内接正方形的边长为R，因此该圆心角的弧度数是.答案：2已知扇形的圆心角是，半径是r，弧长为l.(1)若100
9、，r2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数解析：(1)因为100100，所以S扇形lrr24.(2)由题意知，l2r20，即l202r，故S扇lr(202r)r(r5)225，当r5时，S的最大值为25，此时2.考点三三角函数的定义角度1用三角函数的定义求值例3(1)(2019大同模拟)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则x的值为_解析：cos ，解得x.答案：(2)已知角的终边在直线y3x上，则10sin 的值为_解析：设终边上任一点为P(k，3k)，则r|k|.当k0时，rk，sin ，10sin 330；当k0时，rk，sin
10、 ，10sin 330.答案：0已知角的终边求三角函数值，其关键点为：(1)已知角终边上点P的坐标求P到原点的距离利用三角函数定义求解(2)已知角终边所在的直线方程根据象限位置，设出的终边上点P的坐标利用三角函数定义求解角度2三角函数值符号的判断例4(1)(2019怀化模拟)sin 2cos 3tan 4的值()A小于0B大于0C等于0 D不存在解析：2340，cos 30.sin 2cos 3tan 40.答案：A(2)已知点P(cos ，tan )在第三象限，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由题意可得则所以角的终边在第二象限，故选B.答案：B判断三角函数值符号的关键点(1)确定的终边所在的象限位置(2)根据终边上P的坐标符号：正弦值与纵坐标同号，余弦值与横坐标同号；横纵坐标同号，正切值为正；异号正切值为负角度3利用三角函数线比较大小，解不等式例5(1)(2019石家庄模拟)若，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是()Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin OMMP，故有sin cos 0且tan 0，得的终边在第一
