《2002-2012女子数学奥林匹克cgmo》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2002-2012女子数学奥林匹克cgmo（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 竞赛之窗 首届女子数学奥林匹克 (200208160817 ,珠海) 第 一 天 一、 求出所有的正整数n ,使得20n+ 2能整除 2 003n+ 2 002. 二、 夏令营有3n( n是正整数)位女同学参加,每 天都有3位女同学担任值勤工作.夏令营结束时,发 现这3n位女同学中的任何两位,在同一天担任值勤 工作恰好是一次. (1)问:当n= 3时,是否存在满足题意的安排? 证明你的结论; (2)求证: n是奇数. 三、 试求出所有的正整数k ,使得对任意满足不 等式 k( ab+bc+ ca) 5 ( a 2 +b2+c2) 的正数a、b、c ,一定存在三边长分别为a、b、c的三 角形.
2、 四、 O1和 O2相交于B、C两点,且BC是 O1的直径.过点C作 O1的切线,交 O2于另一 点A ,连结AB ,交 O1于另一点E,连结CE并延长, 交 O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点,连 结HE并延长,交 O1于点G,连结BG并延长,与 AC的延长线交于点D.求证:AH HF = AC CD. 第 二 天 五、 设P1, P2, Pn ( n 2)是1,2, n的任意 一个排列.求证: 1 P1+P2 + 1 P2+P3 + 1 Pn- 2+Pn- 1 + 1 Pn- 1+Pn n- 1 n+ 2. 六、 求所有的正整数对( x , y) ,满足xy=yx -y. 七、 锐角
3、 ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求 证:DEF的周长不超过 ABC周长的一半. 八、 设A1, A2, A8是平面上任意取定的8个 点,对平面上任意取定的一条有向直线l ,设A1, A2, ,A8在该直线上的射影分别是P1, P2, P8.如果 这8个射影两两不重合,依直线l的方向依次排列为 Pi1, Pi2, Pi8,这样,就得到了1,2,8的一个排列 i1, i2, i8(在图1中,此排列为2,1,8,3,7,4,6,5 ) . 设这8个点对平面上所有有向直线作射影后,得到的 不同排列的个数为N8=N ( A1, A2, A8 ) , 试求N8 的最大值. 图1 参 考 答 案 一
4、、 显然,2|n.令n= 2m( mN3) ,则 (20m+ 1)|(2 003m+ 1 001 ) . 因2 003m+ 1 001 = 100(20m+ 1)+ 3m+ 901, 故(20m+ 1)|(3m+ 901 ) . 易知3m + 901 20m+ 1 = 1,2,3,4时都无正整数解.因此, 3m+ 901 20m+ 1 5,可知m896 97 5.注意到k为正整数,因此, k6. 由于不存在边长分别为1、1、2的三角形,依题 设,有 k( 11 + 12 + 12)5(12+ 12+ 22 ) , 即 k6. 以下证明k= 6满足题设要求. 不妨设abc,则 6 ( ab +b
5、c+ ca) 5 ( a 2 +b2+c2 ) , 即 5c2- 6 ( a +b) c+ 5a2+ 5b2- 6ab5 ( a 2 +b2+c2) 矛盾.故c ( n - 1) 2 ( n - 1 ) ( n + 2) = n- 1 n+ 2. 六、 若x= 1,则y= 1;若y= 1,则x= 1;若x=y , 则x=y= 1.故只需讨论xy2的情形.由方程得 1 2y , y|x. 设x=ky ,则k3, kN.于是,ky=y ( k - 2 ) y . 有 k=yk - 2. 因y2,故yk - 2 2k - 2. 用数学归纳法易证2k 4k( k5 ) . 于是,仅可能 k= 3,4.
6、 当k= 3时, y= 3, x= 9;当k= 4时, y= 2, x= 8. 所以,全部解( x , y)为(1,1) , (9,3) , (8,2 ) . 七、 证法一:由于D、E、A、B四点共圆,且AB为 该圆直径,根据正弦定理,可得 DE sinDAE =AB=c, 即 DE=csinDAE. 又 DCA= 90-DAC,所以, DE=ccosC. 522003年第1期 同理, DF=bcosB. 于是, DE+DF=ccosC+bcosB =(2Rsin C) cosC+(2Rsin B) cosB = R( sin 2C+ sin 2 B) = 2Rsin ( B + C) cos
7、 ( B - C) = 2RsinAcos (B - C) =acos ( B - C) a. 同理, DE+EFb, EF+DFc. 将上述三式相加得 DE+EF+FD1 2 ( a +b+c) . 证法二:设M为BC中点, E 为E关于BC的对 称点, H为 ABC的垂心. 图3 如图3,因B、D、H、F 四点共圆,故 1 =4.同 理,2 =3.又 1 = 2,故 4 =3.又 3 = 5,所以 4 =5, F、D、 E 三点共线. 在直角 BCE和直角 BCF中,有EM=FM= 1 2 BC.而M E=ME,故 DE+DF=DE+DF=EFMF+M E=BC. 同理, DE+EFAC,
8、 EF+FMAB. 将上述三式相加,即知命题成立. 图4 证法三:先证 DEF是 锐角 ABC的所有内接 三角形中周长最短的三 角形. 设点D 是BC边上 任一固定点,如图4,作 点D 关于AB、AC的对 称点D1、D2,连结D1D2分别交AB、AC于点E 、F, 则 DEF 周长最短. 事实上, DEF 的周长=DE+EF+FD =D1E+EF+FD2=D1D2. 在AB、AC上任取E1、F1,则 DE1F1的周长=DE1+E1F1+F1D =D1E1+E1F1+F1D2D1D2, 当且仅当E1、F1分别与E 、F 重合时取等号.所以, 当点D 固定时,上述 DEF 周长最短. 因 D1AD
9、2= 2BAC,AD1=A D=AD2,根据余 弦定理, D1D2的长度仅与A D 有关,当A D 取最小 值时, D1D2也取最小值.此时,DEF 为 ABC 中周长最短的内接三角形,故点D 应为BC边上高线 的垂足D. 如 图5,DEF为 ABC的 垂 足 三 角 形,则 图5 ABC的三条高平分 DEF的 内角,有 AFE=DFC=CFD2, 从而, E、F、D2三点共线. 同理, D1、E、F三点共线. 综上所述,垂足 DEF为 ABC中周长最短的内接三角形. 分别在 ABC的三边上取中点M、N、L ,则 DE+EF+FDMN+NL+LM = 1 2 (AB +BC+CA) . 注:本
10、题证明方法较多,这里仅给出其中三种解 答. 八、 对两条平行且同方向的有向直线, A1, A2, ,A8的射影次序一定相同.所以,只要讨论通过一 定点O的所有有向直线即可. 若所取的有向直线与某两点的连线垂直,则该 两点的射影必重合,所以不产生相应的排列.不然, A1,A2, A8的射影必两两不重合,因此,对应地有 一个排列. 图6 设通过点O且与某 两点连线垂直的所有直线 的数目为k.显见, kC28 =28.由此产生2k条有向 直线,依逆时针方向排列, 设它们依次是l1, l2, l2k,如图6. 对任意一条有向直线 l ( 不同于l1, l2k)一定 存在两条相邻的有向直线lj、lj+
11、1,使得lj、l、lj+ 1按逆 时针方向排列.显见,对取定的j ,由这样的l所得到 的相应排列必相同. 若对不同于l1, l2k的两条有向直线l、l,不存 在j ,使得lj、l、lj+ 1及lj、l 、lj+ 1都满足上一段叙述中 所说的要求,则必有j ,使l 、lj、l按逆时针方向排列. 设lj垂直于Aj1和Aj2的连线,显见点Aj1和Aj在有向 直线l、l 上的射影的次序一定不同,相应得到的排列 必不同. 如上所述,不同的排列数为2k.注意到, k= C28 是可以取到的,所以,N8= 56. (命题组成员:潘承彪 钱展望 苏淳 李胜宏 熊斌 吴伟朝 祁建新 钱展望执笔整理) 62中 等
12、 数 学 对任给正整数r(r2) ,总存在正整数N(r ) , 当nN(r)时,存在正整数a1,a2,ar,使得n= a1+a2+ar,1a1 90. 8.对于任意正整数n,记n的所有正约数组成 的集合为Sn.证明:Sn中至多有一半元素的个位数 为3. 参 考 答 案 图2 1. (1)如图2 ,有 SBDF=zSBDE =z (1 - x)SABE =z (1 - x)ySABC, SCEF= (1 -z)SCDE = (1 -z ) (1 - y)SACD = (1 -z ) (1 - y)xSABC. (2)由(1)得 3 SBDF+ 3 SCEF = ( 3 (1 - x)yz+ 3
13、x (1 - y ) (1 - z) ) 3 SABC (1 - x ) + y+z 3 + x+ (1 -y) + (1 -z) 3 3 SABC = 3 SABC. 2.设上学期(i0,j0)空位,新学期(i1,j1)空位. 则S= 6 i=1 8 j=1 (i+j) - (i0+j0) - 6 i=1 8 j=1 (i+j) - (i1+j1) = ( i1+j1) - (i0+j0 ) . 所以,Smax= (6 + 8) - (1 + 1) = 12 , Smin= (1 + 1) - (6 + 8) = - 12. 故S的最大值与最小值之差为24. 3.连结BH、EF、CG.因为
14、BAF G AD,则 FA AB = DA AG. 因为 ABE ACD,则 AB EA = AC DA . 得 FA EA = AC AG. 因为 FAE=CAG,所以, FAE CAG. 于是,FEA=CG A. 由题设知,CBG=CHG= 90,从而,B、C、 G、H四点共圆.故 BHC=BGC.于是, BHF+BEF =BHC+ 90+BEF =BGC+ 90+BEF =FEA+ 90+BEF= 180. 所以,B、E、F、H四点共圆. 4. (1)当a=b=c= 1 3 ,d=e= 0时,把a、b、c、 d、e任意放置在一个圆周上,总有两个 1 3 是相邻的, 它们的乘积不小于 1
15、9 . 图3 (2)不妨设abc de0 ,把a、b、c、d、e按 图3所示放置.因为a+b+ c+d+e= 1 ,所以, a+ 3d1 , a3d a+ 3d 2 2 1 4 . 从而,ad1 12 . 又因为a+b+c1 ,所以,b+c2 3 .于是, bc( b+c) 2 4 1 9 . 因为ceaead,bdbc,所以,相邻两数的乘 积均小于 1 9 . 5.由题设得an+1- 1 =an(an- 1) .所以, 1 an+1- 1 = 1 an- 1 - 1 an . 1 a1 + 1 a2 + 1 a2 003 = 1 a1- 1 - 1 a2- 1 + 1 a2- 1 - 1 a3- 1 + 1 a2 003- 1 - 1 a2 004- 1 = 1 a1- 1 - 1 a2 004- 1 = 1 - 1 a2 004- 1. 易知数列an是严格递增的,a2 004 1 ,故 1 a1 + 1 a2 + 1 a2 003 2 0032 003. 由已知用归纳法可得an+1=anan- 1a1+ 1 ,及 anan- 1a1nn,n1. 从而,结论成立. 6.当ai=i,i= 1 ,2 ,n时, (n - 2) n - 1 2 = 2n- 4
