概率与统计培训资料.doc

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1、第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率 第一节第一节 基本概念基本概念 1 1、排列组合初步、排列组合初步 （1 1）排列组合公式）排列组合公式 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 )!( ! nm m P n m 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 )!( ! ! nmn m C n m 例 11：方程的解是 xxx CCC 765 10 711 A 4 B 3 C 2 D 1 例 12：有 5 个队伍参加了甲 A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：加法原理（两种方法均能完成此事）：m+nm+n 某

2、件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完 成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 (3)(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mnmn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完 成，则这件事可由 mn 种方法来完成。 例 13：从 5 位男同学和 4 位女同学中选出 4 位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男 同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例 14：6 张同排连号的电影票，分给 3 名男生和 3 名女生，如欲男女相间而坐，则不同 的分法数为多少？ 例

3、 15：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域 的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A120 种B140 种 C160 种D180 种 (4)(4)一些常见排列一些常见排列 特殊排列 相邻 彼此隔开 顺序一定和不可分辨 例 16：晚会上有 5 个不同的唱歌节目和 3 个不同的舞蹈节目，问：分别按以 下要求各可排出几种不同的节目单？ 3 个舞蹈节目排在一起； 3 个舞蹈节目彼此隔开； 3 个舞蹈节目先后顺序一定。 例 17：4 幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例 18：5 辆车排成 1 排，1 辆黄色，1 辆蓝色，3 辆红色，且 3 辆红车

4、不可分 辨，问有多少种排法？ 重复排列和非重复排列（有序） 例 19：5 封不同的信，有 6 个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 对立事件 例 110：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例 111：15 人中取 5 人，有 3 个不能都取，有多少种取法？ 例 112：有 4 对人，组成一个 3 人小组，不能从任意一对中取 2 个，问有多 少种可能性？ 顺序问题 例 113：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的种数？（有序） 例 114：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的种数？（有序） 例 115：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的

5、种数？（无序） 2 2、随机试验、随机事件及其运算、随机试验、随机事件及其运算 （1 1）随机试验和随机事件）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一 次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为 随机事件。 例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、 “5”点和出现 偶数点都是随机事件；电话接线员在上午 9 时到 10 时接到的电话呼唤次数（泊松分布） ；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为 0.1 米、0.5 米及 1 米到 3 米之 间都是随机事件（正态分布） 。 在

6、一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性 质： （1）每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （2）任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示，例如（离散） 。 n , 21 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，表示事件，它们是的子集。 如果某个是事件A的组成部分，即这个在事件A中出现，记为。如果在一A 次试验中所出现的有，则称在这次试验中事件A发生。A 如果不是事件A的组成部分，就记为。在一次试验中，所出现的有

7、，AA 则称此次试验A没有发生。 为必然事件， 为不可能事件。 （2 2）事件的关系与运算）事件的关系与运算 关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生）：BA 如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。BA AB A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB 或者，它表示A发生而B不发生的事件。BA A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与 事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称

8、为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互 斥未必对立。 运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： 11i i i iAA ， BABABABA 例 116：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球 两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间。若A表示取到的两只球是 白色的事件，表示取到的两只球是红色的事件，试用A、表示下列事件： （1）两只球是颜色相同的事件C， （2）两只球是颜色不同的事件D， （3）两只球中至少有

9、一只白球的事件E。 例 117：硬币有正反两面，连续抛三次，若 Ai表示第 i 次正面朝上，用 Ai表示下列事件： （1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C， （2）至少有一次正面朝上的事件D， （3）前两次正面朝上的事件E。 3 3、概率的定义和性质、概率的定义和性质 （1 1）概率的公理化定义）概率的公理化定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个 条件： 1 0P(A)1， 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11 )( i i i iAPAP 常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。 （2 2）古典概

10、型（等可能概型）古典概型（等可能概型） 1 ， n 21, 2 。 n PPP n 1 )()()( 21 设任一事件A，它是由组成的，则有 m 21, P(A)= =)()()( 21m )()()( 21m PPP n m 基本事件总数 所包含的基本事件数A 例 118：集合 A 中有 100 个数，B 中有 50 个数，并且满足 A 中元素与 B 中元素关系 a+b=10 的有 20 对。问任意分别从 A 和 B 中各抽取一个，抽到满足 a+b=10 的 a,b 的概率。 例 119：5 双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？ 例 120：在共有 10 个座位的小会议室内随

11、机地坐上 6 名与会者，则指定的 4 个座位被坐 满的概率是 AB CD 14 1 13 1 12 1 11 1 例 121：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的概率？（有序） 例 122：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的概率？（有序） 例 123：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的概率？（无序） 注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。 4 4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1 1）加法公式）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A

12、)+P(B) 例 124：从 0，1，9 这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： A“三个数字中不含 0 或者不含 5” 。 （2 2）减法公式）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A= 时，P()=1- P(B)B 例 125：若 P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求 P(A+B)和 P(+).A B 例 126：对于任意两个互不相容的事件 A 与 B， 以下等式中只有一个不正确，它是： (A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P()-1AB (C) P(-B)=

13、 P()-P(B) (D)P(AB)(A-B)=P(A) AA (E)p=P(A) -P()BAAB （3 3）条件概率和乘法公式）条件概率和乘法公式 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的 )( )( AP ABP 条件概率，记为。)/(ABP )( )( AP ABP 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B 乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有 21(AAP )nA)|()|()(213121AA

14、APAAPAP 21|(AAAPn )1nA 。 例 127：甲乙两班共有 70 名同学，其中女同学 40 名，设甲班有 30 名同学，而女生 15 名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。 例 128：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？ 第一次打开；第二次打开；第三次打开。 （4 4）全概公式）全概公式 设事件 nBBB,21 满足 1 nBBB,21 两两互不相容， ), 2 , 1(0)(niBPi ， 2 n i iBA 1 ， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP 。 此公式即为全概率公式。

15、 例 129：播种小麦时所用的种子中二等种子占 2，三等种子占 1.5，四等种子占 1，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含 50 颗以上麦粒的 概率分别为 0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有 50 颗以上麦粒的概率。 例 130：甲盒内有红球 4 只，黑球 2 只，白球 2 只；乙盒内有红球 5 只，黑球 3 只；丙 盒内有黑球 2 只，白球 2 只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的 概率是： A0.5625B0.5C0.45D0.375 E 0.225 例 131：100 个球，40 个白球，60 个红球，不放回先后取 2 次，第 2 次取出白球的概率？ 第 20 次取出白球的概率？ （5 5）贝叶斯公式）贝叶斯公式 设事件1B，2B， nB及A满足 1 1B，2B， nB两两互不相容， )(BiP 0， i 1，2，n， 2 n i iBA 1 ， 0)(AP ， 则 ，i=1，2，n。 n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 )/()( )/()( )/(