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1、山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题第卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可求出集合，然后进行并集的运算即可【详解】解：，；故选：【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算2.已知复数满足（是虚数单位），则=（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：由，得，故选：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.已知等差数列的公差不为零，为其前项和，且，构成等比
2、数列，则（）A. 15B. -15C. 30D. 25【答案】D【解析】【分析】设等差数列的公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前项和公式求解【详解】解：设等差数列的公差为，由题意，解得 故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，是基础题4.已知正实数，满足，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，则，由此能推导出【详解】解： 正实数，满足， 设，则， 故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A.
3、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，利用数形结合即可得到的最小值【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，当位于时，此时的斜率最小，此时故选：B【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键6.某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先利用三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出几何体的表面积【详解】解：根据几何体得三视图转换为几
4、何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：，所以：外接球的半径为：故：外接球的表面积为：故选：B【点睛】本题考查知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型7.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A. 12种B. 18种C. 24种D. 64种【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：，将4人分成3组，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥
5、工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意，分2步进行分析：，将4人分成3组，有种分法；，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况，此时有种情况，则有种不同的安排方法；故选：C【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题8.如图中，平分线交ABC的外接圆于点，设，则向量（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形为菱形，所以【详解】解：设圆的半径为，在中，所以，平分线交的外接圆于点，所以，则
6、根据圆的性质，又因为在中，所以四边形为菱形，所以故选：C【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力属于中档题9.在中，分别为角，的对边，若的面为，且，则（）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可【详解】解：由，得， ， ，即即，则， ， ， ，即，则，故选：D【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键10.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案
7、，形若铜钱，寓意富贵吉祥在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令圆的半径为1，则，故选C。11.已知椭圆：，左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接和，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值【详解】解：的内心为，连接和，可得为的平分线，即有，可得，即有，即有，故选：B【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础
8、题12.已知函数，当时，方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由方程的解与函数图象交点的相互转化得：原方程可转化为，设方程的解为，则方程有4个不相等的实数根等价于的图象与直线，的交点共4个，由二次方程区间根问题得：由函数的图象与直线，的位置关系可得：，设，则，解得：，得解【详解】解：令，则方程可转化为，设方程的解为，则方程有4个不相等的实数根等价于的图象与直线，的交点共4个，由函数的图象与直线，的位置关系可得：,，设，则，解得：，故选：A【点睛】本题考查了方程的解与函数图象交点的相互转化及二次方程区间根问题，属中档题第卷（共90分）二、填
9、空题（本大题共4小题，共20.0分）13.观察下列式子，根据上述规律，第个不等式应该为_【答案】【解析】【分析】根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案【详解】解：根据题意，对于第一个不等式，则有，对于第二个不等式，则有，对于第三个不等式，则有，依此类推：第个不等式为：，故答案为：【点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律14.若，则_【答案】80【解析】【分析】根据，利用二项式展开式的通项公式求得的值【详解】解： ，则，故答案为：80【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15. “圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个
10、问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，尺，为的中点，寸，则圆柱底面的直径长是_寸”（注：l尺=10寸）【答案】26【解析】【分析】由勾股定理，代入数据即可求得详解】解：， 寸， 寸，在中， ， 寸， 圆柱底面直径长是寸故答案为：26【点睛】考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题16.如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_【答案】【解析】【分析】设，在中利用正弦定理得出关于的函数，从而可得的最
11、小值【详解】解：设，则，在中，由正弦定理可得，即，当即时，取得最小值故答案为：【点睛】本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的前n项和满足，且（1）求数列的通项公式；（2）记，为的前项和，求使成立的的最小值.【答案】（1）； （2）的最小值为5.【解析】【分析】（1）先由，可知数列为等差数列，进而求出的表达式，再由求出的通项公式；（2）利用裂项相消求和法先求出，进而可以求出满足题意的.【详解】（1）由已知，数列为等差数列，且，即，当时，又也满足上式，； （2）由（1）知， ， 由有，有，所以，的最小值为5.【点睛】裂项相消法：把数列的通
12、项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.常见的拆项公式：；若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则.18.如图在直角中，为直角，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，为的中点（）证明：面；（）若，求二面角的余弦值【答案】（）详见解析；（）.【解析】【分析】（）取中点，连结、，四边形是平行四边形，由，得，从而，求出，由此能证明（）以为原点，、所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】证明：（ ）取中点，连结、， ， 四边形是平行四边形， ，
13、， ，在中，又 为的中点，又 ，解：（）， ，以为原点，、所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，设，则， ，设面的法向量，则，取，得，同理，得平面的法向量，设二面角的平面角为，则， 二面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题19.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（）现从所抽取女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；将频率视为概率，从我市所有参与调查的
