《第4章根轨迹法-31资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章根轨迹法-31资料（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4章 根轨迹法,自动控制原理,4.2 根轨迹的绘制法则,4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性,2,一. 用根轨迹法分析系统的性能,用根轨迹法分析控制系统： 定性分析稳定性分析。 定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。,控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的最大优点就是可以直观地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系统性能。,3,用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道一组闭环极点要深刻得多。 比如，当Kg在（0，）间取值时，如果n支根轨迹全部位于虚轴的左边，就意味着不管Kg
2、取任何值闭环系统都是稳定的。 反之，根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管Kg取何值，闭环系统都不可能稳定，这种情况下，如果开环零、极点是系统固有的、不可改变的，那么要使系统稳定就必须人为增加开环零、极点，这就是通常讲的要改变系统的结构，而不仅仅是改变系统的参数。,4,根轨迹只要有一支穿越虚轴，就说明闭环系统的稳定是有条件的，知道了根轨迹与虚轴交点的Kg值，就可以确定稳定条件，进而确定合适的Kg值。,初学者容易把开环极点和闭环极点混淆，因为画根轨迹图时首先标在图上的是开环零、极点，根轨迹的起点是开环极点，有读者就误认为根轨迹上的点都是开环极点，这是不对的。根轨迹图上除了起点和终点，其
3、它都是闭环极点的可能取值。,由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。,5,1. 二阶系统 设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为,6,(1)闭环系统有两个负实极点 暂态过程主要决定于离虚轴近的极点。 一般当时 ，可忽略极点 的影响。, 1,7,(2) 闭环极点为一对复极点 由 （或阻尼角 ）和 决定系统的暂态特性。,阻尼振荡角频率 阻尼角,8, 假设 不变 随着阻尼角 的改变，极点将沿着以 为半径的圆弧移动。,出现实数重根，临界阻尼状态，无超调,一对共轭虚根，等幅振荡,9,共轭复根情况,10, 假设 不变 则随着 增大，极点将沿矢量方向
4、延伸。,等阻尼线,有相同阻尼比的复极点，位于同一条射线上，称为等阻尼线。同一条阻尼线上的复极点，超调量相同。,11, 是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。 有相同 的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节时间。,等衰减系数线,12,(3) 闭环系统有一对复极点外加一个实极点 系统超调量减小，调节时间增长,一对复极点和一个实极点,当实极点与虚轴的距离比复极点实部与虚轴的距离大5倍以上时，可以不考虑这一负极点的影响，直接用二阶系统的指标来分析系统的暂态品质。,13,一对复极点和一个零点,（4）闭环系统有一对复极点外加一个零点 将增大系统超调量,但是，如果 ， 则可以不计零点的影响，直
5、接用二阶系统的指标来分析系统的暂态品质。,14,2开环具有零点的二阶系统 二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图所示。 它的开环传递函数为,15,由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）。这个圆与实轴的交点即为 分离点和会合点：,本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，能改善系统动态品质。,时的根轨迹图,增加开环零点的影响,增加零点对根轨迹形状的影响,17,开环零点在不同取值情况下的根轨迹,系统性能改善不显著，系统增益超过临界值时，系统仍会不稳定。,闭环复数极点距离虚轴较远，实数极点距离虚轴较近，系统有较低的响应速度。,系统有两个共轭复数和一个实数极点，若设计得当，将
6、会使得共轭复数为主导极点，系统近似看成欠阻尼系统。,开环具有零点的三阶系统,18,从以上四种情况来看，一般第三种情况比较理想，这时系统具有一对共轭复数主导极点，其暂态响应性能指标也比较令人满意。 可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控制系统的稳定性和暂态响应性能指标均可得到显著改善。,19,3. 二阶系统加极点 二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为,在 时，分离点为 和 。因为在 -1-4之间不可能有根轨迹，故分离点应为 。,20,当 时，根轨迹与虚轴交点为 对应的根轨迹放大系数为 考虑到 ，于是得临界开 环放
7、大系数为 根轨迹绘于右图。,本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着 增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。,增加开环极点的影响,增加极点对根轨迹形状的影响,根轨迹将向右弯曲,导致系统最后不稳定， 所以一般不单独加开环极点,22,二. 零度根轨迹 零度根轨迹：根轨迹的辐角条件不是 ，而是 的情况。,图示系统有一个零点在S右半平面，它的传递函数为,23,它的闭环特征方程式为,亦即,幅值条件,辐角条件,由于辐角条件是偶数个 ，故名为零度根轨迹。,开环分母-开环分子=0,24,零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则： （1）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是偶数。
8、 （2）根轨迹的渐近线。倾角 （3）根轨迹的出射角与入射角。,入射角,出射角,25,三. 参数根轨迹 参数根轨迹（或广义根轨迹）：以 以外的参数作为变量的根轨迹，称为参数根轨迹。 1. 一个参数变化的根轨迹 假设系统的可变参数是某一时间常数T，原特征方程式变为,式中， 、 分别为等效的开环传递函数分子、分母多项式，T的位置与原根轨迹放大系数 完全相同。,26,例4-10 给定控制系统的开环传递函数为 试作出以a为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时闭环系统稳定。 解 闭环特征方程 改写为 等效的开环传递函数为,该系统在绘制以a 为参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。,27,相应的
9、根轨迹绘于右图。 由图可知，当 时 系统处于临界稳定状态。 闭环系统稳定的范围： 例4-10系统的根轨迹 本例说明，尽管在许多情况下，都是绘制常义根轨迹，但是在绘制参数根轨迹、研究正反馈系统、处理非最小相位系统时，都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。,28,2. 几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇） 在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数的零、极点时，就需研究这些零、极点取不同值时对系统性能的影响。为此，需要绘制几个参数同时变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将是一组曲线，称为根轨迹簇。,29,例4-11 一单位反馈控制系统如图所示，试绘制以K和 为 参数的根
10、轨迹。,解 系统闭环特征方程为,先令 ，则上式变为 或写作,30,令 据此作出 对应的根轨迹，如下图a所示。 这是 时，以K为参变量的根轨迹。 其次考虑 ，把闭环特征方程改写为 令,31,它的极点为 ，零点为0。不难证明，对应特征方程的根轨迹为一圆弧，其方程为,例如令K=9，则,下图b为K取不同值时所作的根轨迹簇。,32,4.3.3 偶极子对系统性能的影响 在系统的综合中，常在系统中附加一对非常接近坐标原点的零、极点对来改善系统的稳态性能。这对零、极点彼此相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点右边，通常称这样的零、极点对为偶极点对或偶极子。 在系统中附加下述网络 若上述网络的极点和零点彼此靠得很近，即为偶极子。,33,例4-15 系统的开环传递函数为,在系统中附加偶极点对，相应的新开环传递函数为,34,系统附加偶极子对根轨迹的影响,新系统的根轨迹除S平面原点附近外，与原系统根轨迹相比无明显变化。但会使得系统开环增益增大，即能改善系统的稳态性能。,
