《排队论公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排队论公式（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、排队论主要公式 一、状态平衡方程 ()() () () = = D不过，若时系统的损失率或表示被拒绝的平均数将是很大的。 1 1 0 2 1 (1) ,1, 11 (10.26) ,1; 2 S N nN Sn n L N Lnp N + + = + = = o （ ）系统的运算指标 系统中的平均顾客数为 0 1 21 1 2 (1)(1) (1) ,1, 2(1) (10.27) () ,1; 11 q N qns n N N L LnpLp N N N N = + + = = + = + o系统中等待的平均顾客数 为 2 1 0 3 1()() 11,0;(10.28) 12! s n N
2、 nw w N n wW ww Feww n = =+ o （ ） 顾客在系统中的逗留时间 的分布及平均逗留时间为 1 1, 1, 2 (10.29) 1 ,1; (1) sN N N W N + + = = 11 10 1 4, (1)() ( )1,0,(10.30) 1! ,1, 1(1)(1) (10.31) 1, 1, 2 q nj Nn w q N nj N N q W w F ww j N WW N = + = = = o顾客在系统中的等待时间分布及平均等待时间 即 1 (3) (1), (1) ,1, 1 (10.32) ,1 1 e e N N N e nN p p N N
3、+ = = = + 系统的有效到达率 对于容量有限制的系统， 是在系统中有空闲等待空间时的平均到达率， 当系统已满（即）时，则到达率为零，需要求出有效到达率 故 /1 1 ()(10.33) e es mM MPalm mL = 五、顾客源有限（设为 ）的模型机器维修模型 （）系统的有效到达率 为 其中 为每台机器单位运转时间内发生故障的概率或平均次数。 10 11 1 0 1 0 0 0 2 1 (1)(10.34) (),11,(10.35) ,(10.36) 2(1) ! (),(10.37) ()! ! (),(10.38) ()! n nn n mm n m n i n n p pm
4、 p pmnp mnpnm pp ppnm m p mi m pp mn + = = + = + = = = o o （ ）生灭过程差分方程组与稳态概率 差分方程组 稳态概率 和为 0 00 (3) 1, (1),(10.39) 2 1 (1)()(1),(10.40) s e S S L Lmmp L LqLpmp = =+ o o 系统的运行指标 系统中的平均顾客数即 系统中等待队列的平均顾客数，即 0 0 0 11 3 1 (10.41) 1 4 111 (10.42) 1 5, (1)(10.43) / (2) (1) 1 ()(1)0, s s s e q q s n nnn W L
5、m W p W m WW p a amLp M M c c p pnpnp + = = = += o o o o 顾客在系统中的平均逗留时间，即 （） 顾客在系统中的平均等待时间，即 （） 正在正常运转的平均机器台数即 六、标准的模型 差分方程组和稳态概率 差分方程组 11 01 1 1 0 0 0 0 1,(10.44) ()0,(10.45) 0(10.46) 2 1 ,1,(10.47) 1 1 ,1, ! (10.48) 1 , ! 1 3 nnn c c k c k c n n n c c nc pcpcpnc pp p kc pnc n p n pnc c c c + = += +
6、= = = ., 0 , ! ,1, ! 0 0 Nn Nnc cc cn n cn n n n 1 0 2 (2) 11(10.61) 21.(10.62) (3) 1 11110.63) 1 2 (1);(10.64) 3 e eN e N s c n cN c scccN c q e qssN c L LNc c c L LLL W + = = = + = 。 。 。 。 。 系统的有效到达率和服务台的平均繁忙台数为 （）， （） 系统的运行指标 平均队长 为 （）（）（）；（ ！（） 平均等待队长为 顾客的平均逗留时间 1 0 0 (1);(10.65) 4 11 (1);(10.66
7、) 5 (1)(1).(10.67) / (1) 1;(10.68) ! s s ssN e q qsNs NcN k c k L WL W WWL c r cc NcM M c K = = = = = = 。 。 。 为 顾客的平均等待时间为 服务台的利用率为 八、时的损失制模型 统计平衡下的稳态概率为 0 0 2,1;(10.69) ! 3()/(10.70) ! 10.70. (2) (1)(10.71) n n nk c c k e ec ppnc n p cK Erlang = = = = 。 。 称公式为损失公式或堵塞概率 系统的有效到达率 为 (3) 0,(10.72) 0.(1
8、0.73) q q L W = = 系统的运行指标为 1 (1),(10.74) c snc n Ln = = = (1)1 (10.75) (1) sc s ec L W = 1 1 0 0 0, 0, ( )/() (1) ! 1;(10.76) ! 0, 2(10.77) ! . ! (2) n nk cm k c kk c n n n n c mM M cPalm mm k kkc c m nc n mn cnm nc c = =+ = 。 。 九、顾客源有限的模型模型 系统的稳态概率为 1 110.78) 2();(10.79) 3;(10.80) () m qn n c e sqq
9、s ss s es Lnc LLLmL LL W mL = + = =+=+ = 。 。 。 系统的运行指标为 （）；（ 0 0 0 4(10.81) () (3) 1();(10.82) 2.(10.83) 1/ qq q es s s s LL W mL cP cmLs W P W = = = + 平均繁忙的服务台数 和一台机器停止运转的概率 为 22 1/1 ,(10.84) 2(1) int ,1. . (2)/1 s sqsesq ssqq M G Var T L PollaczekKhchineTE T Var TE TLLLWWE T LWLW M D + =+ =+=+ = 十
10、、几种特殊的时间的排队模型 （ ）一般服务时间模型 称此公式为公式，其中， 为服务时间，和 已知，再有公式， 和等只要知道上述三个就可以求出其余的运行指标来 定长服务时间模 2 1/, 0,(10.85) .(10.86) 2(1) s TVar T L = =+ 型 1 2 0 2 0 0 0 (3)/1 0 (1) 1,(10.87) 2 (1) (1) 2(10,88) 2 (1) 3/,(10.89) 4/ .(10.90) k k i i s q ss qq ME kTi kTT k L k k L k WL WL = = + =+ + = = = 爱尔兰服务时间模型 若顾客必须经过
11、 个服务台，每个服务站的服务时间相互独立，并服从 相同的的负指数分布，则顾客经过服务时间服从阶爱尔兰分 布，其运行指标为 十一、排队系统的最优化问题 0 1/1 1/1 ., ,(10.91) 1 swssw w s sw MM MM zcc Lcc c c cc =+=+ =+ = （）模型中最有服务率 标准的模型 其中 为当时服务机构单位时间的费用，为每个顾客在系统中停 0 11 1 1 1 2 . 2/1 (1). 0, (1) ,(10.92) (1) , ,(1) /,/. NN Nss NN N N s N s s NM M zpGcGc dz d cNN G cNG G G c
12、+ + + + = = + = 留单位时间的费用 系统容量为 的模型 令得 因为和为每服务 个顾客的收入已知，将上式左边作为 的函数 作出图形，对于给定的根据图形求出，从而也就得到了 0 1 3/1 () (), () m sss m mM M m E mG e zmL Gcc m E = 顾客源有限（设定 ）的模型 0 ( )0, ! k m x m k xmdz Exe kd = = 式中称为普阿松部分和，为求，令有 2 121 2 ()()()()() .(10.93) () mmmmm s m mmmmmm EEEEE c m G E + = ./,/, , 根据图形可求出对于给定的作
13、出图形 的函数作出或作上式左方作为通过数字计算求得通常利用普阿松分布表 Gcs ccMM模型中最优的服务台数/)2( 单位时间内的全部费用 Lccczws+= ， 最小，由此有间的成本。现在要求，为每个服务台每位时其中)(czc ),1()() 1()(+czczccz和 故得到 ).() 1(/) 1()(+cLcLcccLcLws )94.10( . /21 来等式的区间里就可订出根据这个数落在那个不 是已知数，值之差，因的值，并作两相邻的，时，依次求 = c ccLLcwsK Little 定理是在排队系统中的基本定理,公式为 N=*T 它是用来表明: 系统中的用户数(顾客数)=用户(顾客)的平均到达率*用户(顾客)的 平均时延。
