离散时间信号和系统理论知识介绍

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1、天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1 离散时间信号序列 1.2 线性移不变系统 1.3 常系数线性差分方程 1.4 连续时间信号的抽样,第1章 离散时间信号和系统,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1 离散时间信号序列,1.1.1 序列的定义 1.1.2 序列的基本运算 1.1.3 常用的基本序列 1.1.4 序列的周期性 1.1.5 用单位脉冲表示任意序列,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1.1 序列的定义,信号在数学上定义为一个函数，这个函 数表示一种信息，通常是关于一个物理系统的状态或特性的。信号的函数表示是关于一个或几个独立变量的，关于一个独立变量的信号称为一维信号，关于

2、多个独立变量的信号称为多维信号。在本书中，主要讨论的信号是一维信号x(t), 一般情况下x(t)为随时间变化的信号，简称时间信号或时域信号。,天津师范大学计算机与信息工程学院,若t是定义在时间上的连续变量，称x(t)为连续时间信号，也就是模拟信号；若t仅在时间的离散点上取值，称x(t)为离散时间信号或时域离散信号。离散时间信号可以通过对连续时间信号的采样得到,这种情况下把信号记为x(nT) ，T 表示的是采样点之间的时间间隔，n是一个整数。 离散时间信号可以表示成下列形式： x(nT) n=0,1,2,3,.,天津师范大学计算机与信息工程学院,在大多数DSP系统中，x(nT)的存放是按n下标来

3、放置的，不同的x(nT)只要靠n就可区别。因此，将x(nT)表示为x(n)，这是一种数学的抽象。所以一个离散时间信号定义为： x(n) n=0,1,2,3,. x(n)定义在n等于整数点上，在n不等于整数点上，x(n)没有定义，但并不表示信号值为零。从数学的角度看，上面的定义式表示一个序列，所以也把离散时间信号称作离散时间序列，常常简化为x(n) 。,天津师范大学计算机与信息工程学院,序列除了数学表达式外，还常常采用图形方式来表示，如图1.1所示。虽然横坐标画成一条连续的直线，但x(n)仅仅对于整数的n值才有意义。 图1.1 离散时间信号的图形表示,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信

4、号在幅度上定义成连续 的，如果将幅度进行量化，一般为等间隔量化。在时间和幅度上都取离散值的信号称为“数字信号”。因此，离散时间信号并不等于数字信号，但由于数字信号是幅度量化得到的，在数学表示和推导中不如序列形式方便和容易，所以一般都采用离散时间信号来讨论数字信号处理的理论和算法。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1.2 序列的基本运算,和 积 移位 标乘 翻转,累加 差分 时间尺度变换 序列的能量 卷积和,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的和,设序列为x(n)和y(n)，则序列 z(n)= x(n)+ y(n) 表示两个序列的和，定义为同序号的序列值逐项对应相加。,天津师范

5、大学计算机与信息工程学院,例：序列的和,例1.1.1 设序列,计算序列的和x(n)+ y(n)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列求和图示,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的积,设序列为x(n)和y(n)，则序列 z(n)= x(n) y(n) 表示两个序列的积，定义为同序号的序列值逐项对应相乘。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列的积,例1.1.2 设序列,计算序列的积x(n) y(n)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列求积图示,x(n),天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的移位,设序列为x(n)，则序列 y(n)= x(n

6、-m) 表示将序列x(n)进行移位。,m为正时 x(n -m)：x(n)逐项依次延时(右移)m位 x(n+m)：x(n)逐项依次超前(左移)m位 m为负时，则相反。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列的移位,例1.1.3 设序列,计算序列的移位序列x(n+1)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列移位图示,x(n),天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的标乘,设序列为x(n)，a为常数(a 0)，则序列 y(n)= ax(n) 表示将序列x(n)的标乘，定义为各序列值均乘以a，使新序列的幅度为原序列的a倍。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列的标乘,例1

7、.1.4 设序列,计算序列4x(n)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的翻转,设序列为x(n)，则序列 y(n)= x(-n) 表示以n= 0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列的翻转,例1.1.5 设序列,计算序列x(-n)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的累加,设序列为x(n)，则序列 定义为对x(n)的累加，表示将n 以前的所有x(n)值求和。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例: 序列的累加,设序列为 则其累加序列 即 y(0)=x(0)=1, y(1)=x(0)+x(1)=y(0)+x(1)

8、=3, y(2)=y(1)+x(2)=7,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的差分,前向差分：将序列先进行左移，再相减 x(n) = x(n+1)- x(n),后向差分：将序列先进行右移，再相减 x(n) = x(n)- x(n-1),由此容易得出 x(n) = x(n-1),天津师范大学计算机与信息工程学院,多阶差分运算,二阶前向差分,二阶后向差分,单位延迟算子D，有 Dy(n)= y(n-1),y(n)= y(n)- y(n-1)= y(n)- Dy(n)= (1- D)y(n),= 1-D,k 阶后向差分,(按二项式定理展开),二阶后向差分,天津师范大学计算机与信息工程学院,

9、例: 差分运算,例1.1.6 设序列 求x(n)和x(n)。 解： 前向差分,天津师范大学计算机与信息工程学院,例: 差分运算,后向差分,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算时间尺度(比例)变换,设序列为x(n)，m为正整数，则序列 抽取序列： y(n)= x(mn),x(mn) 和x(n/m)定义为对x(n)的时间尺度变换。,插值序列：,天津师范大学计算机与信息工程学院,抽取序列,x(mn)：对x(n)进行抽取运算 不是简单在时间轴上按比例增加到m倍 以1/m倍的取样频率每隔m-1个点抽取1点。 保留 x(0),天津师范大学计算机与信息工程学院,插值序列,x(n/m) ：对x(n)进行

10、插值运算 表示在原序列x(n)相邻两点之间插入m-1个零值点 保留 x(0),天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的能量,设序列为x(n)，则序列 定义为序列的能量，表示序列各取样值的平方之和； 若为复序列，取模值后再求平方和。,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的卷积和,设序列为x(n)和z(n)，则序列 定义为序列x(n)和z(n)的卷积和。卷积和又称为离散卷积或线性卷积，是很重要的公式。,天津师范大学计算机与信息工程学院,卷积和计算的四个步骤,翻转：x(m) ，z(m) z(-m) 移位：z(-m) z(n-m) n为正数时，右移n位 n为负数时，左移n位 相乘：z

11、(n-m) x(m) （m值相同） 相加：y(n) =z(n-m) x(m),天津师范大学计算机与信息工程学院,对应点相乘！,例：卷积和计算,例1.1.7 设序列,求y(n)= x(n)*z(n) 。,解：,n0时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。,0n4时，,对应点相乘！,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：卷积和计算,4n6时，,6n10时，,n10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1.3 几种常用序列,单位脉冲(抽样)序列 单位阶跃序列 矩形序列 实指数序列 正弦序列 复指数序列,天津师范大学计算机与信息工程学

12、院,单位脉冲序列,(n)只在n= 0时取确定值1，其它均为零 (n)类似于(t),(n-m)只有在n= m时取确定值1，而其余点取值均为零,天津师范大学计算机与信息工程学院,单位阶跃序列,u(n)类似于u(t) u(t)在t= 0时常不定义，u(n)在n= 0时为u(0)= 1,(n)和u(n)的关系：,(n) = u(n)-u(n-1),天津师范大学计算机与信息工程学院,单位矩形序列,N 为矩形序列的长度,和u(n)、(n)的关系 ：,天津师范大学计算机与信息工程学院,实指数序列,a为实数,当|a|1时序列收敛,当|a|1时序列发散,天津师范大学计算机与信息工程学院,正弦序列,A为幅度 为数

13、字域角频率 为起始相位,x(n)由x(t)= sint 取样得到,x(n)= Asin(n+),归一化: =T =/fs (与线性关系 ),天津师范大学计算机与信息工程学院,复指数序列,为数字域角频率,用实部与虚部表示,用极坐标表示,=0时，序列具有以2为周期的周期性,复指数序列在实际中不存在，它是为了数学上的表示和分析方便而引入的，它的特性和正弦或余弦序列的特性基本一致。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1.4 序列的周期性,对于序列x(n)，如果对所有n 存在一个最小的正整数N，满足 x(n)= x(n+N) 则序列x(n)是周期序列 ，最小周期为N 。 以正弦序列 为例讨论周期性,

14、设 x(n)= Asin(n+),则有 x(n+N) =Asin(n+N)+ =Asin(N+n+),若满足条件N= 2k，则,x(n+N)= Asin(n+N)+ = Asin(n+) = x(n),天津师范大学计算机与信息工程学院,周期性讨论,N、k 为整数，k 的取值满足条件，且保证N 是最小正整数。其周期为,2/为整数时，取k = 1，保证为最小正整数。此时为周期序列，周期为2/。,例1.1.8 序列 ，因为2/= 8，所以是一个周期序列，其周期N= 8。,例1.1.8 序列 ，因为2/= 8，所以是一个周期序列，其周期N= 8。,例1.1.8 序列 ，因为2/= 8，所以是一个周期序列，其周期N= 8。,天津师范大学计算机与信息工程学院,周期性讨论,2/为有理数而非整数时，仍然是周期序列，周期大于2/。,例1.1.9 序列 ，2/= 8/3是有理数，所以是周期序列，取k= 3，得到周期N= 8。,2/为无理数时，任何k 都不能使N 为正整数，这时正弦序列不是周期序列。,指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。,例1.1.10 序列 , 2/= 8/3是无理数，所以不是周期序列。,例1.1.9 序列 ，2/= 8/3是有理数，所以是周期序列，取k= 3，得到周期N= 8。,天津师范大学计算机与信息工程学院,周期性讨论,判断一个