概率论第一讲 概率论与随机过程

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1、2007-9-18北京邮电大学电子工程学院1 概率论与随机过程概率论与随机过程 唐碧华 黎淑兰唐碧华 黎淑兰 ?学时数：学时数：54 ?教材：王玉孝，概率论与随机过程，北邮出版社教材：王玉孝，概率论与随机过程，北邮出版社 ?参考书：参考书： 1. 陆大琻，随机过程及其应用，清华大学出版社陆大琻，随机过程及其应用，清华大学出版社 2. 严士健等，测度与概率，北京师范大学出版社严士健等，测度与概率，北京师范大学出版社 3. 张朝金著，概率中的反例张朝金著，概率中的反例 4. 王玉孝，概率论与随机过程习题解答，北邮教材 中心 王玉孝，概率论与随机过程习题解答，北邮教材 中心 2007-9-18北京邮

2、电大学电子工程学院2 教学安排教学安排 ?上课时间共上课时间共17次，概率部分约次，概率部分约9次，随机过程部分 约 次，随机过程部分 约7-8次次 ?笔试笔试70%（期末考试前一月公布考试大纲），论 文 （期末考试前一月公布考试大纲），论 文30%（题目：结合自己的专业，以概率论与随 机过程某个知识点撰写一篇 （题目：结合自己的专业，以概率论与随 机过程某个知识点撰写一篇1500字以上论文，要 求标准论文格式，包括标题、中英文摘要、正文、 参考文献。） 字以上论文，要 求标准论文格式，包括标题、中英文摘要、正文、 参考文献。） 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院3 教学安排教学安排

3、?电子讲稿网址：电子讲稿网址： http:/ ?考试时间：见研究生院发布的考表考试时间：见研究生院发布的考表 ?电子邮件：电子邮件： ? ?超星数字浏览器超星数字浏览器 ?上课时间：上课时间：13:00-16:00pm 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院4 概率论与随机过程概率论与随机过程 ?知识从哪里来知识从哪里来? 必然性、偶然性必然性、偶然性 ?知识是什么知识是什么? 概率论与随机过程：随机性、变化过程概率论与随机过程：随机性、变化过程 ?知识到哪里去知识到哪里去? 如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信中 的实际问题？ 如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信中 的实际问

4、题？ 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院5 第一章 概率空间第一章 概率空间 首先，回顾初等概率论的一些基本概念：首先，回顾初等概率论的一些基本概念： 1.在相同条件下可重复进行；在相同条件下可重复进行； 2. 一次试验结果的随机性一次试验结果的随机性不可预知性；不可预知性； 3. 全体可能结果的可知性。全体可能结果的可知性。 E ?随机试验随机试验，满足如下条件：满足如下条件： 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院6 第一章 概率空间第一章 概率空间 ?样本空间样本空间随机试验所有可能出现的结果组成的 集合。 随机试验所有可能出现的结果组成的 集合。 ?样本点样本点中的元素。中

5、的元素。 ?随机事件随机事件样本空间 的子集合，称为样本空间 的子集合，称为事件事件。 ?基本事件基本事件中每个样本点所构成的单点集。中每个样本点所构成的单点集。 ?必然事件必然事件本身。本身。 ?不可能事件不可能事件不包含任何元素的空集合。不包含任何元素的空集合。 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院7 第一章 概率空间第一章 概率空间 考虑的样本点考虑的样本点B=1，虽然，虽然B ，但此时 ，但此时B并不是我们所 讨论的事件 并不是我们所 讨论的事件（见张朝金著概率中的反例）（见张朝金著概率中的反例） 在初等概率论中，我们定义随机事件在初等概率论中，我们定义随机事件A为样本空间的子

6、集，即，但事实上是不是任何一个样本点构成的集合都 是一个随机事件？ 为样本空间的子 集，即，但事实上是不是任何一个样本点构成的集合都 是一个随机事件？（举例说明）（举例说明） A 容易验证， A为事件域，均为事件容易验证， A为事件域，均为事件, , ,A A 其中其中A不妨取不妨取A=1,2，=3,4,5,6A , , ,A A例：例：=1,2,3,4,5,6 取A取A = 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院8 第一章 概率空间第一章 概率空间 ( )的概率。为事件称AP ()2.1P =（归一性）（归一性） ?概率的定义概率的定义若对若对 E的每一个事件的每一个事件A，有一个实数

7、与之对应，记为 ，有一个实数 与之对应，记为P(A)，且满足：，且满足： ( )1.01P A （非负性）（非负性） () = = = 11 21 ,. 3 k k k k APAP AA U L 两两互不相容，则有：若事件 （可列可加性）（可列可加性） 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院9 第一章 概率空间第一章 概率空间 (F F F F F F = = += = baA An nb n aA n n n n , , 2 , 1, 1 1 U L 但： ，有：显然， 设事件域： 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院10 第一章 概率空间第一章 概率空间 若把若把P(A)看作集

8、合看作集合A的函数，那么象高等数学里 的普通函数一样，我们必须考虑 的函数，那么象高等数学里 的普通函数一样，我们必须考虑A在何范围内，在何范围内，A P(A)才有定义？这是初等概率论的遗留问题。为此， 我们考虑以事件 才有定义？这是初等概率论的遗留问题。为此， 我们考虑以事件A为元素的集合，称为集合类或事件 体，记作 为元素的集合，称为集合类或事件 体，记作F F。 F F的结构？在的结构？在F F上的概率如何构造？这是本章将要 讨论的主要问题，为此我们必须引入测度论的概念。 上的概率如何构造？这是本章将要 讨论的主要问题，为此我们必须引入测度论的概念。 2007-9-18北京邮电大学电子工

9、程学院11 第一节 集合代数和-代数第一节 集合代数和-代数 一、集合代数和-代数一、集合代数和-代数 定义定义1.1.1 设是任一非空集合， A是由的一些子集组成 的非空集合类，若A 满足： 设是任一非空集合， A是由的一些子集组成 的非空集合类，若A 满足： 1. A ； A ； 3.若若A，B A ，有 A ，有AB A （有限并运算封闭）； 则称A是上的一个集合代数，简称集代数。 容易证明集代数对有限交运算也封闭，即： A （有限并运算封闭）； 则称A是上的一个集合代数，简称集代数。 容易证明集代数对有限交运算也封闭，即： 2. 若若A A ，有 A ，有AA （余运算封闭）；A （余

10、运算封闭）； 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院12 定理定理1.1.1 设A是由的一些子集组成的非空集合类，则：设A是由的一些子集组成的非空集合类，则： 1. 若A是由的集代数A是包含且对余运算和有限交运 算封闭； 若A是由的集代数A是包含且对余运算和有限交运 算封闭； 2. 若A是由的集代数 A是包含且对差运算封闭。 证明可简单阐述。 若A是由的集代数 A是包含且对差运算封闭。 证明可简单阐述。 第一节 集合代数和-代数第一节 集合代数和-代数 例例1.1.1 设设 =R，则：，则： ( += = baRbaAAAAARA n k nk , 1 21 U L形如 A 则： A是集代

11、数。 A 则： A是集代数。 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院13 第一节 集合代数和-代数第一节 集合代数和-代数 定义定义1.1.2 设是任一非空集合， A是由的一些子集组成的 非空集合类，若A 满足： 设是任一非空集合， A是由的一些子集组成的 非空集合类，若A 满足： k A 1. A A 2. 若若A A ，有 A ，有AA （余运算封闭）；A （余运算封闭）； 则称A是上的一个则称A是上的一个-代数。代数。 定理定理1.1.2 设A是设A是-代数，则：代数，则： 1. -代数A 一定是集代数；代数A 一定是集代数； 2. 若A，有A（可列交运算封闭）若A，有A（可列交运算

12、封闭） k A( () )L1 1,2,2,= =k = = I 1k k A 3. 若A，有A（可列并运算封闭）若A，有A（可列并运算封闭） k A( () )L1 1,2,2,= =k = U 1k k A 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院14 第一节 集合代数和-代数第一节 集合代数和-代数 显然，集代数的交仍是集代数； 显然，集代数的交仍是集代数； -代数的交仍是 代数的交仍是 -代数。 若 代数。 若 A ，且 ，且A，A 则集合类是 一个 则集合类是 一个-代数。代数。 , AA 设设 是一非空集合，F是由是一非空集合，F是由 的一切子集组成的集 合类，则 F是一个 的一

13、切子集组成的集 合类，则 F是一个-代数。代数。 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院15 第一节 集合代数和-代数第一节 集合代数和-代数 二、包含某一集合类的最小-代数二、包含某一集合类的最小-代数 G是由的一些子集组成的非空集合类，那么至 少存在一个-代数包含G。为什么？ 由于F是一个-代数，且F G。 G是由的一些子集组成的非空集合类，那么至 少存在一个-代数包含G。为什么？ 由于F是一个-代数，且F G。 是否存在最小的-代数？是否存在最小的-代数？若存在，是否唯一？若存在，是否唯一？ 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院16 第一节 集合代数和-代数第一节 集合代数和-

14、代数 定理定理1.1.3 设是任一非空集合， G是由的一些子集组成的 非空集合类，则存在唯一的-代数F 设是任一非空集合， G是由的一些子集组成的 非空集合类，则存在唯一的-代数F0，满足：，满足： 1.G FG F0； 2. 对包含G的任一-代数A，有F对包含G的任一-代数A，有F0 A 证明：构造F A 证明：构造F * =A，即所有包含G 的-代数的交。 GAA，即所有包含G 的-代数的交。GA I 下面说明这样构成的F下面说明这样构成的F *即为包含G的最小的-代数， F 即为包含G的最小的-代数， F * = F F0 由构造性可知它不仅存在而且唯一。 由于-代数的交仍为-代数，所以

15、F 由构造性可知它不仅存在而且唯一。 由于-代数的交仍为-代数，所以F *为包含G的-代数。 由构造，则可知其最小性。 为包含G的-代数。 由构造，则可知其最小性。 2007-9-18北京邮电大学电子工程学院17 第一节 集合代数和第一节 集合代数和-代数代数 定义定义1.1.3 称定理称定理1.1.3中的F中的F0是包含G 的最小-代数，或者 是由G生成的-代数，记为 是包含G 的最小-代数，或者 是由G生成的-代数，记为(G G)。 例例1.1.2 设设A ，且 ，且A，A 则，则包含 则，则包含A的最小 -代数为。 的最小 -代数为。 , AA 三、三、Borel域域 设设=R(1)，考虑由，考虑由R(1)的一些子集组成的集合类： G 的