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1、概率论与数理统计习题第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以表示取到黑球的只数，以表示取到红球的只数，求和的联合分布律.解：XY01230001020（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，联合分布律为 P X=0, Y=2 = P X=1, Y=1 = P X=1, Y=2 = P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 = P X=2, Y=2 = P X=3, Y=0 = P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =0习题3-2 设随机变量的概率密度为（1） 确定常数；（2）
2、求（3） 求；（4） 求.分析：利用P (X, Y)G=再化为累次积分，其中解：（1），（2）（3）（4）习题3-3 将一枚硬币掷3次，以表示前2次出现的次数，以表示3次中出现的次数，求的联合分布律以及的边缘分布律。习题3-4 设二维随机变量的概率密度为（1） 试确定常数；（2）求边缘概率密度.解: （1）l=yo（2）y=x2x习题3-5 在第7题中，（1）求条件概率密度，特别，写出当时的条件概率密度；（2）求条件概率密度，特别，分别写出当时的条件概率密度；（3）求条件概率，(注：上面提到的7题应为下面补充的9题）习题3-6 设随机变量的概率密度为求条件概率密度.习题3-7 设和是两个相互独
3、立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度为（1）求和的联合概率密度；（2）设含有的二次方程，试求有实根的概率。解：（1）X的概率密度为Y的概率密度为且知X, Y相互独立，于是（X，Y）的联合密度为（2）由于a有实跟根，从而判别式 即： 记 习题3-8 设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 其中是常数，引入随机变量（1） 求条件概率密度；（2）求的分布律和分布函数.习题3-9 设和是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为： 求随机变量的概率密度。习题3-10 设是相互独立的随机变量，它们都服从正态分布. 试验证随机变量具有概率密度我们称服从参数为的瑞利分布.习题3-11 设随机变量的概
4、率密度为（1） 确定常数；（2）求边缘概率密度；（3）求函数的分布函数。习题3-12 设是相互独立的随机变量，证明 解：习题3-13 设随机变量的分布律为012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05（1）求；（2）求的分布律；（3）求的分布律；（4）求的分布律.解：（1）由条件概率公式P X=2|Y=2= = =同理P Y=3|X=0=（2）变量V=maxX, Y 显然V是一随机变量，其取值为 V：0 1 2 3 4 5P V=0=P
5、 X=0 Y=0=0P V=1=P X=1，Y=0+ P X=1，Y=1+ P X=0，Y=1 =0.01+0.02+0.01=0.04P V=2=P X=2，Y=0+ P X=2，Y=1+ P X=2，Y=2 +P Y=2, X=0+ P Y=2, X=1 =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P V=3=P X=3，Y=0+ P X=3，Y=1+ P X=3，Y=2+ P X=3，Y=3 +P Y=3, X=0+ P Y=3, X=1+ P Y=3, X=2 =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P V=4=P X=4，Y=0
6、+ P X=4，Y=1+ P X=4，Y=2+ P X=4，Y=3 =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P V=5=P X=5，Y=0+ + P X=5，Y=3 =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28（3）显然U的取值为0，1，2，3 P U=0=P X=0，Y=0+ P X=0，Y=3+ P Y=0，X=1+ + P Y=0，X=5=0.28同理 P U=1=0.30 P U=2=0.25 P U=3=0.17或缩写成表格形式（2）V012345Pk00.040.160.280.240.28（3）U0123Pk0.280.300.250.17（4）W=V+U显然W的
7、取值为0，1，8 PW=0=PV=0 U=0=0 PW=1=PV=0, U=1+PV=1U=0 V=maxX，Y=0又U=minX，Y=1不可能上式中的PV=0，U=1=0，又 PV=1 U=0=PX=1 Y=0+PX=0 Y=1=0.2故 PW=1=PV=0, U=1+PV=1，U=0=0.2 PW=2=PV+U=2= PV=2, U=0+ PV=1，U=1 = PX=2 Y=0+ PX=0 Y=2+PX=1 Y=1 =0.03+0.01+0.02=0.06 PW=3=PV+U=3= PV=3, U=0+ PV=2，U=1 = PX=3 Y=0+ PX=0，Y=3+PX=2，Y=1 + PX
8、=1，Y=2 =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 PW=4= PV=4, U=0+ PV=3，U=1+PV=2，U=2 =PX=4 Y=0+ PX=3，Y=1+PX=1，Y=3 + PX=2，Y=2 =0.19 PW=5= PV+U=5=PV=5, U=0+ PV=5，U=1+PV=3，U=2 =PX=5 Y=0+ PX=5，Y=1+PX=3，Y=2+ PX=2，Y=3 =0.24 PW=6= PV+U=6=PV=5, U=1+ PV=4，U=2+PV=3，U=3 =PX=5，Y=1+ PX=4，Y=2+PX=3，Y=3 =0.19 PW=7= PV+U=7=PV=5, U=2+ PV=4，U=3 =PV=5，U=2 +PX=4，Y=3=0.6+0.6=0.12 PW=8= PV+U=8=PV=5, U=3+ PX=5，Y=3=0.05或列表为W012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0513
