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1、无穷级数,一、数项级数,二、幂级数,讨论敛散性,求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。,1.数项级数及收敛定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,收敛 ,则称无穷级数,并称 S 为级数的和。,等比级数(又称几何级数),( q 称为公比 ).,级数收敛 ,级数发散 .,其和为,P-级数,2.无穷级数的基本性质,性质1. 若级数,收敛于 S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,即,其和为 c S .,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,说明:,(2) 若两级数中一个
2、收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .,(用反证法可证),性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数,的敛散性.,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级,的和.,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,性质5：设收敛级数,则必有,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,*例1.判断级数的敛散性:,解:该级数是下列两级数之差,故原级数收敛.,(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强
3、级数,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,是两个正项级数,(常数 k 0 ),3.正项级数审敛法,(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,的敛散性.,例3. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,发散,比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项,级数, 且,则,因此级数,收敛.,解:,4.交错级数及其审敛法,则各项符号正负相
4、间的级数,称为交错级数 .,( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 。,5.绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,绝对收敛的级数一定收敛 .,由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知:,交错级数,例5. 证明下列级数绝对收敛 :,证:,而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,判断数项级数敛散的方法,1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质,2、利用必要条件：主要判别发散,3、求部分和数列的极限,4、正项级数的审敛法,1）比值审敛法（根值审敛法）,2）比较审
5、敛法（或极限形式）,5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理,6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛,收敛,发散,1.Abel定理,若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之, 若当,的一切 x , 该幂级数也发散 .,时该幂级数发散 ,则对满足不等式,二、求幂级数收敛域,*例6.已知幂级数,在,处收敛，则该级数,在,处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛,还是绝对收敛？,解：,由Abel定理 ，该幂级数在,处绝对收敛，,故在,绝对收敛。,例7. 已知,处条件收敛 , 问该级数收敛,半径是多少 ?,答:,根据Abel 定理可知, 级数在,
6、收敛 ,时发散 .,故收敛半径为,若,的系数满足,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,则,的收敛半径为,2.求收敛半径,对端点 x =1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x = 1, 级数为交错级数,收敛;,级数为,发散 .,故收敛域为,例8求幂级数,例9. 求下列幂级数的收敛域 :,解: (1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x = 0 处收敛 .,规定: 0 ! = 1,例10.,的收敛域.,解: 令,级数变为,当 t = 2 时, 级数为,此级数发散;,当 t = 2 时, 级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,三、求函数的幂级数展
7、开式,1、对函数作恒等变形（如果需要的话）,2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数,3、写出收敛范围,的幂级数展开式,展开成,解：,例10.求函数,微分方程,一、微分方程的基本概念,二、解微分方程,三、微分方程应用,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,一、微分方程的基本概念,的阶.,例如：,一阶微分方程,二阶微分方程, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,初始条件(或边值条件):,的阶数相同.,特解,微分方程的解, 不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线
8、.,例1. 验证函数,是微分方程,的解.,解:,是方程的解 .,二、解微分方程,1. 一阶微分方程,可分离变量，一阶线性,2. 高阶微分方程,可降阶微分方程，二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。,分离变量方程的解法:,(2)两边积分,(3)得到通解,称为方程的隐式通解, 或通积分.,(1)分离变量,*例2. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),因此可能增、,减解.,一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,对应齐次方
9、程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,解,*例3.,利用一阶线性方程的通解公式得：,例4. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解. 令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例5.,解:,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,例6. 求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,型的微分方程,令,故方
10、程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,例7. 求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,*例8. 解初值问题,解: 令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,二阶线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,定理1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),特征方程:,实根,二阶线性常系数齐次微分方程求解,例9.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方
11、程的通解为,例10. 求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,*例11.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例12.,解：因,是一个特解，所以,是特征,方程的重根，故特征方程为：,所对应微分方程为,二阶线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解 .,(2) 若 是特征方程的单根,特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根,特解形式为,(1) 若 不是特征方程的根,特解形式为,的特解形式.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,特解
12、形式为,例13.,例13.,的特解形式.,解: 本题,而特征方程为,其根为,特解形式为,三、微分方程应用,1. 利用导数几何意义列方程,2. 利用导数物理意义列方程,3. 利用牛顿第二定律,求所满足的微分方程 .,*例14. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,例15.,成正比,求,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,
