《2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第51讲 空间中的垂直关系 含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第51讲 空间中的垂直关系 含答案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第51讲空间中的垂直关系1了解空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义2掌握判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的方法，能正确判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直3掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质 知识梳理1直线与平面垂直的判定(1)利用定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则此直线与这个平面垂直(2)判定定理：一条直线与一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面用符号语言可表示为：m，n，mnA，lm，lnl.2直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知：若一条直线垂直于平面，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线(2)性质定理：垂直于同一平面的两
2、条直线平行.用符号语言表示为：a，bab.3两平面垂直的判定(1)利用定义：两个平面相交，若所成的二面角为90，则称这两个平面互相垂直(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直用符号语言表示为：a，a.4两平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.用符号语言表示为：，l，bl，b，则b.1若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面2若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)3垂直于同一条直线的两个平面平行4一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这一条直
3、线也与另一个平面也垂直 热身练习1下列命题正确的是(D)如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面A BC D 中两条直线一定要是两相交直线，如果是两平行直线，结论不成立；中的无数条直线如果是平行直线，结论也不成立；只有与才成立2下列四个命题：平行于同一直线的两条直线平行；垂直于同一直线的两条直线平行；若直线垂直于平面，则它垂直于平面内的所有直线；垂直于同
4、一个平面的两条直线平行其中正确的命题是(A)A BC D 由三线平行公理知正确；由直线与平面垂直的定义知正确；由直线与平面垂直的性质定理知正确3下面命题中：两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直其中正确命题的个数有(D)A0个 B1个C2个 D3个 正确，是两个平面垂直的定义；正确，是两平面垂直的判定定理；正确，即若a，a，则.证明如下：过a作平面使a，因为a，所以aa，又a，所以a，又a，所以，故选D.4下列两个命题中：两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们的交
5、线的直线必垂直第二个平面；一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直对上述两命题的判断中，正确判断的是(C)A、都正确 B正确，不正确C不正确，正确 D、都不正确 不正确，当点在交线上时，满足条件，但该直线不一定垂直第二个平面正确，即若，则.证明如下：设a，在内作直线la，则l. .由以上分析可知，选C.5(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则(C)Aml BmnCnl Dmn 因为l，所以l.因为n，所以nl，故选C. 线面垂直的判定(2018北京卷理节选)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，
6、A1C1，BB1的中点，ABBC，ACAA12.求证：AC平面BEF. 在高考中，立体几何解答题常常设置两问，第(1)问常证明线面的位置关系，第(2)常考查与体积、距离等有关的计算两问的条件常常是一同叙述，图形也由同一图形给出，因此，在证明第(1)问时，要根据证明的要求，对条件要进行适当的筛选在处理后面所选的例题及变式时，也要注意这一点 在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以ACEF.因为ABBC，所以ACBE，EFBEE，所以AC平面BEF. (1)证线面垂直的基本方法是利用判定定理，即证明一条直线与平面内的两
7、条相交直线垂直(2)证明线线垂直时，要注意如下几个方面：要注意充分利用平面几何的知识，挖掘题中隐含的垂直关系，如正方形、菱形的对角线垂直；等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线垂直于底边；直径所对的圆周角为90等利用计算的方法证明垂直，如给出线段长度，计算满足勾股定理、证明角等于90等利用已知垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视直线与平面垂直的性质和两平面垂直的性质定理1四面体ABCD中，ACBD，E，F分别是AD，BC的中点，且EFAC，BDC90，求证：BD平面ACD. 取CD的中点G，连接EG，FG，因为E，F分别是AD，BC的中点，所以EGAC，FGBD.又ACBD，所以FGAC，所以
8、在EFG中，EG2FG2AC2EF2，所以EGFG，所以BDAC，又BDC90，即BDCD，因为AC，CD平面ACD，且ACCDC，所以BD平面ACD. 面面垂直的判定(2018广州模拟)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA底面ABCD，EDPA，且PA2ED2.证明：平面PAC平面PCE. 连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.因为O，F分别为AC，PC的中点，所以OFPA，且OFPA，因为DEPA，且DEPA，所以OFDE，且OFDE.所以四边形OFED为平行四边形，所以ODEF，即BDEF.因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PAB
9、D.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.因为PAACA，所以BD平面PAC.因为BDEF，所以EF平面PAC.因为FE平面PCE，所以平面PAC平面PCE. 证明两平面垂直的基本方法是利用平面与平面垂直的判定定理，即证其中一个平面经过另一个平面的垂线2(2018南关区校级期末节选)在平面四边形ACBD(图)中，ABC与ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB2，BAD30，BAC45，将ABC沿AB折起，构成如图所示的三棱锥CABD.当CD时，求证：平面CAB平面DAB. 当CD时，取AB的中点O，连接CO，DO，在RtACB，RtADB，AB2，则CODO1，又因为CD，所以CO2D
10、O2CD2，即COOD，又因为COAB，ABODO，AB，OD平面ABD，所以CO平面ABD，又因为CO平面ABC，所以平面CAB平面DAB. 线面垂直、面面垂直的性质(2015广东卷节选)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.证明：PEFG. 在PCD中，因为E为CD的中点，且PCPD，所以PECD.又因为平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，PE平面PCD，所以PE平面ABCD.又因为FG平面ABCD，所以PEFG. 本题着重考查了两平面垂直及直线
11、与平面垂直的性质，从中可进一步体会三种垂直关系的转化及作用3(2017江苏卷)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC. (1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF 平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平
12、面ABC，所以ADAC.1直线与平面垂直、平面与平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可从直线和平面、平面与平面所成的角为90的角度认识，也可从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理论证2在空间垂直关系中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知图形通过计算证明垂直，也可根据已知的垂直关系证明线线垂直3在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”，“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用这些定理时，要特别注意交代这些限制条件4垂直关系的论证，常用的思路是由已知想性质，由求证想判定，根据性质的需要作辅助线、面特别是要会利用特殊多面体的线面关系，如直棱柱、正棱锥等多面体的线面关系为已知条件，进行证明5空间垂直关系之间的转化是立体几何中证明垂直关系的常用思路，三种垂直关系的转化可结合下面的框图进行记忆
