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1、第44讲基本不等式1了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件2会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题 知识梳理1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时不等式取等号2几个重要不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)ab()2(a，bR)；(4)()2.3基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大(2)两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件 热身练习1若a，bR，且ab
2、0，则下列不等式中，恒成立的是(D)Aa2b22ab Bab2C. D.2 A、C中，ab时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D，利用基本不等式xy2(x0，y0)成立，故选D.2已知a，b为正数，则下列不等式中不成立的是(D)Aab Bab()2C. D. 易知A，B成立，对于C，因为a2b22ab，所以2(a2b2)(ab)2，所以()2，所以，故C成立对于D，取a4，b1，代入可知，不等式不成立，故D不成立由以上分析可知，应选D.3周长为60的矩形面积的最大值为(A)A225 B450C500 D900 设矩形的长为x，宽为y，则2(xy)60，所以xy30，所以Sxy()2
3、225，即Smax225.当且仅当xy15时取“”，故选A.4设函数f(x)2x1(x0，b0)过点(1,2)，则2ab的最小值为8. 因为直线1(a0，b0)过点(1,2)，所以1，所以2ab(2ab)()4428，当且仅当，即a2，b4时，等号成立故2ab的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系下列不等式一定成立的是Ax212x(xR)Bsin x2(xk，kZ)Cx212(x0)Dx(x0) 对于A，当x1时，x212x，A不正确对于B，需要满足sin x0，不等式成立，所以B也不正确；对于C，x212，当且仅当x21，即x0时，取等号，但x0，所以不等式不能取到等号，故C正确对于D，
4、当0x1时，x0且x1时，lg x2B当x(0，)时，sin x的最小值为4C当x0时，2D当0x2时，x无最大值 对于A，当0x1时，lg x0时，22，当且仅当x1时，等号成立；对于D，当0x2时，x单调递增，所以当x2时，取得最大值，最大值为. 利用基本不等式求最值(1)已知x0，y0，且1，求xy的最小值 (1)y4x2(54x)3231，当且仅当54x，即x1时，取等号故当x1时，ymax1.(2)(方法一)因为x0，y0，1，所以xy()(xy)1061016.当且仅当，且1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.(方法二)由1，得(x1)(y9)9(
5、定值)，可知x1，y9，从而xy(x1)(y9)1021016，所以当且仅当x1y93，即x4，y12时，(xy)min16. (1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件所谓“一正”指正数，“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式2(1)若x0，y0，且2x3y6，则xy的最大值为.(2)(2018江苏杭州一模)若对任意的x1，a恒成立，则a的最大值是(B)A4 B6C8 D10 (1)因为x0，y0，且2x3y6.所以xy(2x)(3y)()
6、2，当且仅当2x3y3，即x，y1时，xy取得最大值.(2)a对x(1，)恒成立，即a()min.因为(x1)2，因为x1，所以(x1)2226，当且仅当x1，即x3时，取“”，所以a6.故a的最小值为6. 基本不等式的实际应用(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_ 一年的总运费为6(万元)一年的总存储费用为4x万元总运费与总存储费用的和为(4x)万元因为4x2240，当且仅当4x，即x30时取得等号，所以当x30时，一年的总运费与总存储费用之和最小 30 应用基本不等式解决
7、实际问题的步骤：先理解题意，设变量时一般把要求的最大(小)值的变量定为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大(小)值问题；利用基本不等式求函数的最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件；回到实际问题中，写出正确答案3某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 80件 设每件产品的平均费用为y元，由题意得y220.当且仅当(x0)，即x80时“”成立1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，分析其结构特点，有利于在运用过程中根据问题的结构特征灵活地对公式进行合理选择2基本不等式的应用主要是：(1)证明某些不等式；(2)求某些函数的最值3利用基本不等式求最值，有“和定积最大，积定和最小”的结论，利用它可以解决某些非二次的有关函数及多元函数的最大值或最小值问题，在具体解题时，要特别注意：“一正、二定、三相等”的条件创造利用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目标在于满足“一正、二定、三相等”的条件
