数学思想与数学文化-历史上的三次数学危机

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1、1,数学思想与数学文化 第六讲 历史上的三次数学危机,2,第六讲 历史上的三次数学危机,前言 一、第一次数学危机 1、危机的起因 2、危机的实质 3、危机的解决 二、第二次数学危机 1、危机的引发 2、危机的实质 3、危机的解决 三、第三次数学危机 1“数学基础”的曙光集合论 2算术的集合论基础 3 罗素的“集合论悖论”引发危机 4 危机的消除 四、 三次数学危机与“无穷”的联系,3,前 言 历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。

2、实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。,4,一. 第一次数学危机,1.危机的起因： 第一次数学危机是由 不 能写成两个整数之比引发的。,毕达哥拉斯（约公元前580-前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家,5,1.这一危机发生在公元前5世纪，危机 来源于：当时认为所有的数都能表示为整 数比，但突然发现 不能表为整数比。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的. 2. 危机的实质： 是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需要添加无理数.,6,当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新

3、说法，回避了 是无理数的实质，而是用几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的几何原本中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。,7,3. 危机的解决 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事情了。,8,二. 第二次数学危机,第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。,9,1危机的

4、引发 1）牛顿的“无穷小” 牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。 微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。,10,例如，设自由落体在时间 下落的距离为 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我们要求物体在 的瞬时速度，先求 。 （*）,11,当 变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是 ，这就是物体在 时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。 牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。,12,2）贝

5、克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。 贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？,13,如果是0，上式左端当 成无穷小后分母为0，就没有意义了。如果不是0，上式右端的 就不能任意去掉。,在推出上式时，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？,因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以0，得出5=3一样的荒谬。,（*）,14,贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和 都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。 这就是著名的“贝克莱悖论”。 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学

6、家提出的，但是，,15,贝克莱的质问是击中要害的,数学家在将近200年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。 直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。 直至魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。,16,3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其他数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，

7、“实践是检验真理的唯一标准。”,17,2危机的实质 第一次数学危机的实质是 “ 不是有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。,18,其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。 当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”。,19,他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。 德国的莱布尼茨虽然

8、也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。 正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。,20,所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。,21,牛顿 （英，1642-1727）,莱布尼茨 （德，1646-1716）,22,3危机的解决 1）必要性 微积分虽然在发展，但微积分的逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。,23,而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学

9、家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。,24,因此，进入19世纪时，一方面微积分 取得的成就超出人们的预料，另一方面, 大量的数学理论没有正确、牢固的逻辑基 础，因此不能保证数学结论是正确无误的。 历史要求为微积分学说奠基。,25,2）严格的极限理论的建立 到19世纪，一批杰出数学家辛勤、 天才的工作，终于逐步建立了严格的极限 理论，并把它作为微积分的基础。 应该指出，严格的极限理论的建立是 逐步的、漫长的。,26, 在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。 达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的

10、理论。 19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的无穷的悖论一书中包含许多真知灼见。,27, 而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在18211823年间出版的分析教程和无穷小计算讲义是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。,28,柯西 （法，1789-1857）,波尔查诺（捷，1781-1848）,29,3）严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识 后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需

11、要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析，是在实数范围内研究的。但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。,30,一件事是，1874年德国数学家魏尔斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，18151897）构造了一个 “点点连续而点点不可导的函数”。 “连续函数”在直观上是“函数曲线没有间断，连在一起”，而“函数在一点可导”直观上是“函数曲线在该点有切线”。所以，在直观上“连续”与“可导”有密切的联系。 这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会有“点点连续而点点不可导的函数”。,31,魏尔斯特拉斯

12、 德意志帝国数学家。1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年，先后在几所中学任教。1854年3月31日获得哥尼斯堡大学名誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院成员，1864年升为教授。,魏尔斯特拉斯 (德，18151897),32,魏尔斯特拉斯 关于 “点点连续而点点不可导的函数”的例子是 其中 是奇数， ， 使 。,33,另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann，18261866）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。黎曼证明了，被

13、积函数不连续，其定积分也可能存在。,34,黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。,35,黎曼 1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学， 1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。,黎曼（德，1826-1866）,36,这些例子使数学家们越来越明 白，在为分析建立一个完善的基础 方面，还需要再前进一步：即需要 理解和阐明实数

14、系的更深刻的性质。,37, 魏尔斯特拉斯的贡献 德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，18151897）的努力，终于使 分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概 念中解放出来。他的成功产生了深远的影响， 主要表现在两方面，一方面是建立了实数系， 另一方面是创造了精确的“ ”语言。,38,“ ”语言的成功，表现在： 这一语言给出极限的准确描述，消除 了历史上各种模糊的用语，诸如“最终 比”、“无限地趋近于”，等等。 这样一来，分析中的所有基本概念都 可以通过实数和它们的基本运算和关系精 确地表述出来。,39,4）极限的“ ”定义及“贝克莱悖 论” 的消除 极限的“ ”定义,4

15、0,定义：设函数 在 的附近都有定 义，如果有一个确定的实数 （无论多 么小的正数 ）。 都 （都能找到一个正数 ，依赖 于 ），使当 时（满足不等式 的所有不等于 的 ），有 （这些 对应的函数值 与 的差小于预先给定的任意小的 ）我们就 说“函数 在 趋近于 时，有极限 ” 。 记为 。,41,由极限的这个 “ ”定义，可以求 出一些基本的极限，并严格地建立一整套 丰富的极限理论。简单说，例如有 两个相等的函数，取极限后仍相等； 两个函数，代数和的极限等于极限的代数和。 等等。 由此再建立严格的微积分理论。,42, “贝克莱悖论”的消除 回到牛顿的（*）式上： （*） 这是在 （即 ）条件下，得到的等式；它表明 时间内物体的平均速度为 。（*）式两边都是 t 的函数。然后，我们把物体在 时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当 趋于0时的极限，即 物体在 时刻的瞬时速度= 。,43,下边我们对（*）式的等号两边同时取 极限 ，根据“两个相等的函数取极 限后仍相等”，得 瞬时