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1、1,二次型的 标准形和规范形,第二节,2,3,一、二次型的标准形,定义,下面介绍二次型化为标准形的方法。,4,1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形,拉格朗日配方法的基本步骤：,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,5,例1,用配方法化二次型,解,为标准形，并写出对应的可逆线性变换。,6,标准形为,所用变换矩阵为,7,例2,用配方法化二次型,解,为标准形，并写出对应的可逆线性
2、变换。,所给二次型中无平方项，所以先作线性变换,原二次型化为,8,再配方，得,标准形为,9,所用变换矩阵为,对应的线性变换为,10,2、用正交变换法化二次型为标准形,定理,任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。,而由正交阵性质可知，,因此这样的正交,11,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,12,例3,用正交变换将二次型,解,化为标准形，并求所作的正交变换。,二次型的矩阵,13,14,再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵,正交化，,15,于是所求正交变换为,标准形为,16,例4,用正交变换将二次型,解,化为标准形，并求所作的正交变换。,二次型的矩阵,17,18,19,正交化，,20,
3、21,再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵,所作正交变换为,标准形为,22,例5,解,23,由题意,这两个矩阵相似,24,二、二次型的规范形,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。,但是，标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。,25,定理(惯性定理),p为正惯性指数,正负惯性指数的差 称为二次型的符号差.,为负惯性指数,无论用何种可逆线性变换把它化为标准形,其中正的系数个数(称正惯性指数)和负的系数个数(称负惯性指数)唯一确定.,26,继续作可逆线性变换,矩阵形式为,27,二次型化为,称之为二次型的规范形.,定理 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规范形,且规范形是唯一的.,化二次型时，所作的线性变换不一定是正交变换。,28,练习：,P222 习题五,29,END,END,30,选用例题,1、用配方法化二次型,为标准形，并写出对应的可逆线性变换。,解,所给二次型中无平方项，所以先作线性变换,31,所用可逆线性变换为,32,2、求一正交变换，将二次型,解,对应特征向量为,33,再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵,二次型的标准形,
