企业运筹学--图与网络理论讲义

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1、运筹学第五章,图与网络理论 交大管理学院 杨民助,图与网络理论,图的概念 网络概念 网络最短树问题 网络最短路问题 网络最大流问题,图的概念 什么是图,图的概念 所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为V，边的集合记为E，则图可以表示为：G（V，E），点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系，因此，边不能离开点而独立存在，每条边都有两个端点。 在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的，则两个图相同。,图的概念 图的表示,图的概念 点与边,顶点数 集合V中元素的个数，记作p(G)。 边数 集合E中元素的个数，记作q(G)。 若e=u,vE，则称u和v为e

2、的端点，而称e为u和v的关联边，也称u，v与边e相关联。 例如图51中的图G，p(G)=6，q(G)=9， v1，v2是e1和e2的端点，e1和e2都是v1和v2的关联边。,图的概念 点边关系,若点u和v与同一条边相关联，则u和v为相邻点；若两条边ei和ej有同一个端点，则称ei与ej为相邻边。 例如在图51中v1和v2为相邻点， v1和v5不相邻；e1与e5为相邻边，e1和e7不相邻。,图的概念 简单图,若一条边的两个端点是同一个顶点，则称该边为环；又若两上端点之间有多于一条边，则称为多重边或平行边。 例如图51的e8为环，e1，e2为两重边，e4，e5也是两重边。 含有多重边的图称作多重图

3、。 无环也无多重边的图称作简单图。,图的概念 图的次,次 点v作为边的端点的次数，记作d(v)，如图51中，d(v1)=5, d(v4)=6等 端点次为奇数的点称作奇点；次为偶数的点称作偶点。 次为1的点称为悬挂点，与悬挂点连接的边称作悬挂边； 次为0的点称为孤立点。 图51中的点v5即为悬挂点，边e9即为悬挂边，而点v6则是弧立点。,图的概念 定理1,若图G中所有点都是孤立点，则称图G为空图。 定理1 所有顶点的次的和，等于所有边数的2倍。即,图的概念 定理2,定理2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。 设V1和V2分别是图G中次数为奇数和偶数的顶点集合。由定理1有,图的概念 链,由两两相邻的

4、点及其相关联的边构成的点边序列称为链。 v0称为链的起点， vn称为链的终点。 若v0 vn则称该链为开链，反之称为闭链或回路。,图的概念 简单链,若链中所含的边均不相同，则称为简单链；若点均不相同，则称为初等链或通路。 除起点和终点外点均不相同的闭链，称为初等回路或称为圈。 例如图中,是一条链，且是开链，也是简单链，但不是初等链，因为v1出现两次。,图的概念 圈,若链中所含的边均不相同，则称为简单链；若点均不相同，则称为初等链或通路。除起点和终点外点均不相同的闭链，称为初等回路或称为圈。 例如图中,是一个圈。,图的概念 连通性,若一个图G的任意两点之间均至少有一条通路（初等链）连接起来，则称

5、这个图G是一个连通图，否则称作不连通图。 例如图中，v1和v6之间没有通路，因此它不是连通图，而如果去掉v6，则构成一个连通图。,图的概念 连通的意义,连通是一个很重要的概念，如果一个问题所对应的图是一个不连通图，则该问题一定可以分解成互不相关的子问题来加以研究，即可以把不连通图分解成连通的子图来研究。,图的概念 子图,子图的定义 设， G1=(V1,E1), G2=(V2,E2)，如果V1V2 ，又E1E2 ，则称G1是G2的子图。,必须指出，并不是从图G2中任选一些顶点和边在一起就组成G2的子图G1，而只有在G2中的一条边以及连接该边的两个端点均选入G1时，G1才是G2的子图。,图的概念

6、特殊子图,当G1中不包含G2中所有的顶点和边，则称G1是G2的真子图。 部分图 若V1=V2，E1E2 ，则称G1为G2的一个部分图。 若V1V2 ， E1= u,v | uV1, vV1，则称G1是G2中 由V1导出的导出子图。,图的概念 有向图,在有些图中，边是没有方向的，即u,v=v,u，这种图称为无向图。 而有些关系是不对称的，例如父子关系、上下级关系、加工工序的先后顺序等都具有单向性，用图来表示这些关系时，得到的边是具有方向的，用带箭头的线来表示，称为弧。 从顶点u指向的弧a，记作a=(u,v),(u,v)(v,u)，其中u称为a的起点，v称为a的终点，这样的图称为有向图。仍以V表示

7、点的集合，以A表示弧的集合，则有向图表示为D（V，A）,图的概念 有向图例,图的概念 有向图的链路,有向图中，在不考虑边的方向时，也可以相同地定义链，若有向图D（V，A）中，P是一个从u到v的链，且对P中每一条弧而言，在序列中位于该弧前面的点恰好是其起点，而位于该弧后面的点恰好是其终点，这个链P就称为是D中从u到v的一条路。 当路的起点与终点相同，即u=v时，称作一条回路。 顶点全不相同的路称为初等路。 除起点和终点外点均不相同的回路称为初等回路。,图的概念 树,一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为树，一个林的每个连通子图都是一个树。 定理 以下关于树的六种不同描述是

8、等价的： 无圈连通图。 无圈，q=p-1。 连通，q=p-1。 无圈，但若任意增加一条边，则可得到一个且仅一个圈。 连通，但若任意舍弃一条边，图便不连通。 每一对顶点之间有一条且仅有一条链。,图的概念 部分树,若T是图G（V，E）的部分图，且T是树，则称T为G的部分树。 若T是图G的部分树，则从G中去掉T中所有的边，所得到的子图称为G中的T的余树，也称为G的一个余树。 余数不一定是树！,一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为树，一个林的每个连通子图都是一个树。,网络概念,图只能用来研究事物之间有没有某种关系，而不能研究这种关系的强弱程度。 网络 赋权的图 权 程度的度量

9、，数量描述。,网络最短树问题,最短树问题的一般提法是：选取网络中的部分图，使得网络连通，且使总权数最短。 在实际应用中，经常碰到需要求一个赋权连通图的最短树的问题。例如，用节点表示城市，用边表示可以在两个城市之间架设光缆，边上的权表示光缆的长度，试求应如何架设光缆，才能使任意两城市之间均由光缆相通，且使光缆的总长度最短。 求最短树的方法，依据的是树的特点，即无圈和连通，加上最短的要求，方法主要有两种：一种称为破圈法，一种称为生长法,树的概念回顾,一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为树，一个林的每个连通子图都是一个树。 定理 以下关于树的六种不同描述是等价的： 无圈连通

10、图。 无圈，q=p-1。 连通，q=p-1。 无圈，但增加一条边，则可得到一个且仅有一个圈。 连通，但若舍弃一条边，图便不连通。 每一对顶点之间有一条且仅有一条链。,网络最短树 破圈法原理,方法原理 如果网络图中无圈并且q=p-1，则已经是树； 如果网络图中有圈，则截去该圈中权数最大的边；这样，并不影响网络图的连通性，且能使边数减少一个； 经过一定次数的截边，网络图中将再也没有圈，成为无圈图； 如果此时的网络满足q=p-1，则已经是树； 由于每次截去的边在圈中具有最大的权数，因此获得的树也是最短的树。,网络最短树 破圈法,方法步骤 在网络图中寻找一个圈，若已经无圈则转。 在圈中选取权数最大的边

11、，从网络图中截去该边，对新的网络，转。 若q=p-1，则已找到最短树，否则网络图不连通，无最短树。,方法示例： 例54 对图中的网络， 用破圈法求最短树。,网络最短树 生长法原理,方法原理 类似于自然界中植物生长的过程，结合就近生长和避免构成圈的要求，逐步生长直到所有的点都已经被包含。 如果原网络不连通，则在生长过程中会出现某些点不能被生长 ，则结束。 避圈的原理是已经被包含在生长过的树中的点不再被生长。 由于在每次生长时都采用就近生长的方法，生成的树一定是最短树。,网络最短树 生长法1,方法步骤 从图上任选一点i，令,从Sk中的各点到Sk中各点的边中选权数最小的 边，设为i，j，则,若这样的

12、边不存在，则原图没有最短部分树。 令,若S=V，则已找到最短树，否则，,网络最短树 生长法2,方法示例 取S=v1, 则S到其余点的距离在距离矩阵中第一行,网络最短树 生长法3,方法示例,网络最短树 生长法4,网络最短路线问题,最短路线问题的一般提法是：欲寻找网络中从起点1到终点n的最短路线，即寻求连接这两点的边的总长度为最小的通路，最短路线中的网络大都是有向网络，也可以是无向网络。,最短路问题的狄克斯拉算法,把V分成两个集合,令,计算,求,若vk=vn则已经求得vn到v1的最短路线，否则继续计算,使用条件 lij0,算法解释 若以p(vi)记v1到vi的最短距离，则根据动态规划原理应有,第一

13、步 取P(v1)0，而T(vj)则是对P(vj)所取的初值；,狄克斯拉算法1,狄克斯拉 算法2,算法解释,第二步 利用P(vi)已知，据上式对T(vj)进行修正；,狄克斯拉算法3,算法解释,第三步 对T(vj)求,狄克斯拉算法4,算法解释,k=2, 不是最优，继续,狄克斯拉算法5,算法解释,在所有的T(vj)中确定最小的,狄克斯拉算法6,算法解释,k=3, 不是最优，继续,狄克斯拉算法7,算法解释,k=5, 不是最优，继续,狄克斯拉算法8,算法解释,k=6=n, 已经是最优。如果希望计算v1到v4的最短距离，继续,狄克斯拉算法9,表格实现,狄克斯拉算法10,表格实现,福德算法1,适用于有负权，

14、但无负回路的有向或无向网络，其算法步骤如下： 令,计算,若对所有j,则最优，否则把k的值加1，继续计算。 若k=n-1，则说明存在负回路，最短路线不存在。,福德算法2,适用于有负权，但无负回路的有向或无向网络， 算法中dj(k)为从1到j的边数不超过k的路线中距离最短的。 算法依据的思想是动态规划最优性原理，在此处形成递推公式。,福德算法3,算法示例,福德算法4,福德算法5,福德算法6,福德算法7,福德算法8,福德算法9,福德算法10,福德算法11,福德算法12,福德算法13,最大流问题的概念,所谓最大流问题就是在一定的条件下，要求流过网络的物流、能量流或信息流等流量为最大的问题，在最大流问题

15、中一般有如下规定： 网络有一个起点s和一个终点t 网络是有向网络，即流有方向性。 在网络各条弧上都有一个权，表示允许流过的最大流量。若以bij表示由i到j的弧上允许流过的最大流量，以xij表示实际流过该弧的流量，则0 xij bij 网络中，除起点s和终点t之外的任何顶点，流入量总和应该等于流出量的总和。,最大流问题的数学模型,最大流 问题的 数学模型：,最大流最小割集定理1,网络中的最大流量fmax值大小是由网络中最狭窄处瓶颈的容量所决定的。,最大流最小割集定理揭示了最小割集（网络中的瓶颈）容量与最大流量的关系，也提供了一个求最大流的方法。 割集,网络割集容量,最小割集 所有割集中容量最小的

16、一个割集。,最大流最小割集定理2,网络中的最大流量fmax值大小是由网络中最狭窄处瓶颈的容量所决定的。,网络割集容量,最小割集 所有割集中容量最小的一个割集。,最大流最小割集定理 流过网络的最大流量等于最小割集的容量。,最大流最小割集定理3,福德富克逊方法原理,算法的原理 首先，依据最大流问题的要求，为网络分配一个可行流。所谓可行流，是指所有弧上流量满足容量限制，所有中间点满足平衡条件的流； 若这一可行流的流量就是最大流量，则问题已经解决； 若不是最大流量，则增加流量获得流量更大的可行流。,福德富克逊方法流图,求一个初始可行流 是 判断初始可行流是否最优 结 束 不是 求使目标得到改善的可行流,福德富克逊方法图示,算法原理图示,福德富克逊方法讨