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1、 核心素养提升练五十一曲线与方程(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图,已知线段AB上有一动点D(D异于A,B),线段CDAB,且满足 |CD|2= |AD|BD|(是大于0且不等于1的常数),则点C的运动轨迹为()A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分【解析】选B.以线段AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设C(x,y)是运动轨迹上任一点,设|AB|=2a,则A(-a,0),B(a,0),所以|CD|2=y2,|AD|BD|=(x+a)(a-x)=-x2+a2,所以y2=-x2+a2,即x2+y2=a2,即+=
2、1,且xa,所以点C的运动轨迹为椭圆的一部分.2.(2018张家口模拟)设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,=+(O为坐标原点),则点M的轨迹方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),由=+,得(x,y)=(x0,0)+(0,y0),则解得由|AB|=5,得+=25,化简得+=1.【变式备选】(2018福州模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.+=1(y0)B.+y2=1(y0)C.+3y2=1(y0)D.x2+=1(
3、y0)【解析】选C.依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),由三角形重心坐标关系可得即代入+=1,得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y0).3.设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为()A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2【解析】选D.如图,设P(x,y),圆心为M(1,0),连接MA,则MAPA,且|MA|=1.又因为|PA|=1,所以|PM|=,即|PM|2=2,所以P点的轨迹方程为(x-1)2+y2=2.【变式备选】(2018梅州模拟)动圆M经过双曲
4、线x2-=1的左焦点且与直线x=2相切,则圆心M的轨迹方程是()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4x D.y2=-4x【解析】选B.双曲线x2-=1的左焦点F(-2,0),动圆M经过点F且与直线x=2相切,则圆心M到点F的距离和到直线x=2的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线,其方程为y2=-8x.4.已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆+=1上,且满足|-|=2,则=()A.-12B.12C.-9 D.9【解析】选D.设P(x,y).由|-|=2可得点P在以两定点A,B为焦点的双曲线的上支,其中2a=2,c=2,所以b=.所以点P(x,y)满足方程y2-=1(y1)
5、.由解得所以=(x,y+2)(x,y-2)=x2+y2-4=9+4-4=9.5.在ABC中,B(-,0),C(,0),AB,AC边上的中线长之和为9.则ABC重心G的轨迹方程是()A.+=1(y0) B.+=1(y0)C.-y2=1(y0) D.x2-=1(y0)【解析】选B.设AB,AC边上的中线分别为CD,BE,因为BG=BE,CG=CD,所以BG+CG=(BE+CD)=6(定值),所以,G的轨迹为以B,C为焦点的椭圆,2a=6,c=,所以a=3,b=2,椭圆的方程为+=1.因为当G点在x轴上时,A,B,C三点共线,不能构成ABC,所以G的纵坐标不能是0,可得ABC的重心G的轨迹方程为+=
6、1(y0).二、填空题(每小题5分,共15分)6.ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是_. 【解析】如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,所以方程为-=1(x3).答案:-=1(x3)7.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是_.【解析】设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB
7、1| =2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为+=1(y0).答案:+=1(y0)8.已知点P是曲线C:+y2=1上的动点,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,点M满足=-,则点M的轨迹方程为_.【解析】设P(m,n),M(x,y),则Q(m,0),=(0,-n),=(x-m,y-n),因为=-,所以(0,-n)=-(x-m,y-n),即即 因为点P在曲线C上,所以+n2=1,将代入得,+=1,即点M的轨迹方程x2+y2=4.答案: x2+y2
8、=4三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018泉州模拟)ABC中,O是BC的中点,|BC|=3,其周长为6+3,若点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|.(1)建立合适的平面直角坐标系,求点T的轨迹E的方程.(2)若M,N是射线OC上不同的两点,|OM|ON|=1,过点M的直线与E交于P,Q两点,直线QN与E交于另一点R,证明:MPR是等腰三角形.【解析】(1)以BC所在直线为x轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系,则|AB|+|AC|=6|BC|,所以点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,所以2a=6,2c=3,所以a=3,c=,所以b2=a2-c2=,所以点A的轨迹方程为+=1(y0
9、).设T(x,y),点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|,所以A(3x,3y),代入轨迹方程,整理可得点T的轨迹E的方程是x2+2y2 =1(y0).(2)设Q(x1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3),M(m,0)(m0),由|OM|ON|=1得N,由已知,直线QM不与坐标轴平行,kQM=,直线QM的方程为y=(x-m),与椭圆方程联立,消去y,得(m2+1-2mx1)x2-2m(1-)x+(2mx1-m2)=0,所以x1x2=,同理x1x3=x1x2,所以x2=x3,或x1=0.当x2=x3时,PRx轴;当x1=0时,x2=,x3=x2.所以PRx轴,所以|MP|=|MR|,所
10、以MPR是等腰三角形.10.(2018上海模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知三点O(0,0),A(-1,1), B(1,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足:|+|=4-(+).(1)求曲线C的方程.(2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线l与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,试探究kPMkPN的值是否与点P及直线l有关,并证明你的结论.【解析】(1)由已知,A(-1,1),B(1,1),M(x,y),所以+=(-1-x,1-y)+(1-x,1-y)=(-2x,2-2y),|+|=,又因为|+|=4-(+),4-(+)=4-(x,y)(0,2)
11、=4-y,所以=4-y,化简整理得+=1,即为所求曲线C的方程.(2)因为过原点的直线l与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,可设P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0).因为P,M,N在椭圆上,所以+=1,+=1,-得=-,又因为kPM=,kPN=,所以kPMkPN=-,所以,kPMkPN的值恒等于-,与点P的位置和直线l的位置无关.(20分钟40分)1.(5分)已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选C.由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中
12、项知:|PF1|+|PF2|=4,故动点P的轨迹是以定点F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,故其方程为+=1.【变式备选】设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆【解析】选A.由题意知动点C满足:到定点(0,3)的距离比到定直线y=0的距离多1,故其到定点(0,3)与到定直线y=-1的距离相等.所以点C的轨迹为抛物线.2.(5分)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若=2,且=1,则点P的轨迹方程是()A.x2+3y2=1(x0,
13、y0)B.x2-3y2=1(x0,y0)C.3x2-y2=1(x0,y0)D.3x2+y2=1(x0,y0)【解析】选A.设A(a,0),B(0,b),a0,b0,由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x0,b=3y0.点Q(-x,y),故由=1,得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1,将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).3.(5分)已知过点A(-2,0)的直线与x=2相交于点C,过点B(2,0)的直线与x=-2相交于点D,若直线CD与圆x2+y2=4相切,则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为_.【解析】设直线AC,BD的斜率分别
14、为k1,k2,则直线AC,BD的方程分别为:y=k1(x+2),y=k2(x-2),据此可得:C(2,4k1),D(-2,-4k2),则:kCD=k1+k2,直线CD的方程为:y-4k1=(k1+k2)(x-2),整理可得:(k1+k2)x-y+2(k1-k2)=0,直线与圆相切,则:=2,据此可得:k1k2=-,由于:y=k1(x+2),y=k2(x-2),两式相乘可得:y2=k1k2(x2-4)=-x2+1,即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为+y2=1(y0).答案:+y2=1(y0)4.(12分)(2018泰安模拟)如图所示,动圆C1:x2+y2=t2,1t3,与椭圆C2:+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点.(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积.(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.【解析】(1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|,由+=1得=1-,所以=1-=-2+,当=,=时,Smax=6,所以t2=+=5,t=,所以当t=时,矩形ABCD的面积取到最大值6.(2)由椭圆C2:+y2=1知A1(-3,0),A2(3,0),由曲线的对称性及A(x0,
