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1、时间序列分析讲义,第一章 时间序列分析概念,第二章 时间序列的预处理,第三章 平稳时间序列建模,第四章 时间序列分析实例-SAS应用,目录,第一章 时间序列分析基本概念,随机序列:按时间顺序排列的一组随机变量 观察值序列:随机序列的 个有序观察值，称之为序列长度为 的观察值序列 随机序列和观察值序列的关系 观察值序列是随机序列的一个实现 我们研究的目的是想揭示随机时序的性质 实现的手段都是通过观察值序列的性质进行推断,1.1 时间序列的定义,第一章 时间序列分析基本概念,时序图1.1,下面是几个常见的时间序列观察值序列的点图：,时序图1.2,德国业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有11年左
2、右的周期,时序图1.3,时序图1.4,时序图1.1，该时序有明显的增长趋势,不是平稳变化的；,时序图1.2，该时序变化平稳，但有明显的周期特征；,时序图1.3，该时序变化平稳，无明显的周期特征；但显示各时刻序列值显然毫无关联，显示白噪声特点,时序图1.4，该时序变化平稳，无明显的周期特征；无明显白噪声特点,时间序列数字特征就可以用量化的方法识别时间序列。,时间序列分析方法，是根据时间序的不同特点，建立不同的模型。所以时间序列特征的识别很重要。,用图形一定程度上可以识别时间序列的特征，且很直观；但是图形识别不是量化的标准，往往不够准确。因此一个量化的识别时间序列的特征的方法是必要的。,1.2 时
3、间序列的数字特征,均值函数 方差函数 自协方差函数 自相关函数,时间序列的数字特征包含了时间序列的重要信息,时间序列分析方法正是通过对分析时间序列的数字特征，来分析时序的特性，并由此确定对于该序列建立什么样的模型.,我们根据时间序列的数字特征可以将时间序列分类：,1.3 随机序列的几种类型,满足如下条件的序列称为平稳时间序列:,注1：平稳时间序列的均值是常数, 序列没有有明显的趋势,时序图1.2、1.3、1.4都符合是平稳序列特征,时序图1.1是非平稳序列,注2：没有周期性的平稳时间序列, 一般有：,即间隔时间很长时，则相关性趋弱。,满足下列条件的随机序列称为白噪声序列，也称为纯随机序列：,注
4、1：白噪声序列也是平稳时间序列中的特例.,注2：由于白噪声序列不同时刻的值相互独立，那么这样的序列数值不能对于将来进行推断与预测，所以白噪声是不能建立模型的。,时序图1.3符合白噪声序列特征,若满足时间序列满足:,称该时间序列是周期为T的时间序列.,注1：若时间序列是周期为T的时间序列,则其均值函数和自相关函数都是周期的,T为其周期。,时序图1.2符合周期序列特征,实际中我们得不到一个时间序列的完整性信息，因此不能计算理论均值和自相关函数。但我们能获取时间序列的一个样本，因此我们需要根据样本来计算样本的均值和样本自相关函数。,1.4 时间序列的样本均值与样本自相关函数,假设已经得到了时间序列的
5、一段样本观察值,，其中,称为样本长度。,时间序列的样本均值：,样本自相关函数：,其中：,后面，我们是通过样本的数字特征对于时间序列进行识别和建模的。,时间序列分析常用软件 S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews 和SAS 推荐软件SAS 在SAS系统中有一个专门进行计量经济与时间序列分析的模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁，输出功能强大，分析结果精确，是进行时间序列分析与预测的理想的软件 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能，因此在进行海量数据的时间序列分析时它具有其它统计软件无可比拟的优势,1.5 时间序列分析软件,时间序列分析方法，是对非白噪声且无周
6、期性的 的平稳时间序列直接建立模型的。,1、做纯随机性检验，,3、进行周期识别。,若有周期，消除周期性。,因此在建模之前需要做的预处理：,若是纯随机性序列，终止建模。,- 得到非纯随机的无周期平稳时间序列数据，用于建模。,2、对时间序列做平稳性检验，,若非平稳，需做平稳化处理。,第二章 时间序列的预处理,原假设：延迟期数不超过 期的序列值之间相互独立,检验统计量,，则拒绝原假设，认为该序列为非出随机序列，可以建模。,认为序列为纯随机序列，,，则接受原假设,2.1 纯随机性检验,终止建模,例2.1：对于下面序列进行纯随机性检验,样本自相关图,检验结果,由于P值显著大于显著性水平 ，所以不能拒绝该
7、序列纯随机的原假设。,认为该序列是纯随机的，建模终止。,例2.2 对1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄所占比例的纯随机性进行检验,例2.2时序图,例2.2白噪声检验结果,由于P值显著小于显著性水平 ，所以拒绝该序列为纯随机性的原假设。,认为该序列不是纯随机的序列，可以建摸。,2.4 周期性检验,时序图形或 值，观察有无周期特征。,如果一个时间序列 周期为T，则做T步差分，,周期性的消除办法：,可消除周期性。,2.2 平稳性的检验,时序图检验 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势,也可以通过
8、值序列是否平稳有无趋势，事实上，当 不趋于0或不能很快地趋于0时，即可判断非平稳（参看第3章，平稳的性质）。,例题,例2.3检验1964年1999年中国纱年产量序列的平稳性 例2.4检验1962年1月1975年12月平均每头奶牛月产奶量序列的平稳性 例2.5检验1949年1998年北京市每年最高气温序列的平稳性,（以上原始数据略）,例2.3时序图,例2.3自相关图,例2.4时序图,例2.4 自相关图,例2.5时序图,例2.5自相关图,例2.3时序为非平稳的，有趋势； 例2.4时序非平稳性，有趋势 例2.5时序是一个平稳的,非平稳性序列的平稳化,对于一个非平稳时间序列 ，若存在一阶趋势，则用一阶
9、差分可变平稳：,若存在二阶趋势，则用二阶差分可变平稳：,一阶差分,二阶差分,若引入延迟算子B，定义：,这样差分运算可以用延迟算子表示：,注：,延迟算子B具有线性运算。,P阶差分：,K 步差分算子：,一阶差分算子：,第三章 平稳时间序列建模,3.1 平稳时间序列的模型,一个无周期，非白噪声的平稳时间序列的一般可以建立如下模型：,这个模型称为P阶自回归q阶移动平均的模型，也称ARMA模型，简记,特别：,称为P阶自回归模型，也称AR模型，简记,称为q阶移动平均模型，也称MA模型，简记,利用延迟算子B：,模型可以简记为：,其中 为均值，且有,分别称为P阶自回归因子和q阶移动平均因子,或简记为：,偏自相
10、关函数定义 对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关函数就是指在给定中间k-1个随机变量 的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后， 对 影响的相关度量，,滞后k偏自相关函数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。,3.2 三种模型的性质,为了进一步识别模型，还需要引入另外一个重要数字特征偏相关函数。,滞后k偏自相关函数 可由下式计算:, ,样本偏自相关函数 可由,得到,ARMA模型相关性特征,3.3 ARMA模型的识别、定阶,因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的 或 仍会呈现出小值振荡的情况 由于平稳时间序列通常都具有短期相关性
11、，随着延迟阶数 ， 与 都会衰减至零值附近作小值波动 当 或 在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？,定理，对于MA(q) 模型，,定理，对于AR(p) 模型，,模型定阶的经验方法 如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。,序列自相关图,例3.1（例2.2续） 选择合适的模型ARMA拟合1950年1998年北京市城乡居民
12、定期储蓄比例序列。,序列偏自相关图,拟合模型识别：,自相关图显示延迟3阶之后，自相关系数全部衰减到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾 偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾 所以可以考虑拟合模型为AR(1),例3.2 美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列,序列图,序列自相关图,序列偏自相关图,拟合模型识别：,自相
13、关图显示除了延迟1阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其它阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根据这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，可以认为该序列自相关系数1阶截尾 偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。 综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为MA(1),例3.3,1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列,序列自相关图,序列偏自相关图,拟合模型识别：,自相关系数显示出不截尾的性质 偏自相关系数也显示出不截尾的性质 综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可以尝试使用ARMA(1,1)、MA（1）模型拟合该序列,问题：,当同一个序列
14、有两个模型都有效，或者几个模型特征都不够明确，那么到底该选择哪个模型？ 解决办法 确定适当的比较准则，构造适当的统计量，确定相对最优或者,AIC统计量 选择标准：AIC越小越好,AIC准则,BIC统计量 选择标准：BIC越小越好,BIC准则,3.4 ARMA模型的参数估计,（略）,3.5 模型的检验,（1）模型的显著性检验,目的 检验模型的有效性（对信息的提取是否充分） 检验对象 残差序列 判定原则 一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列 反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效
15、,例3.4（例2.2续）,检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的显著性 残差白噪声序列检验结果,由于P值大于0.05， 接受原假设，认为残差为白噪声，拟合模型显著有效,（2）参数显著性检验,目的 检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著参数使模型结构最精简 假设条件 检验统计量,例3.5（续例3.2）对OVERSHORTS序列的拟合模型进行检验,残差白噪声检验 结论：P值大于0.05，接受原假设，认为残差为白噪声，模型显著有效 参数显著性检验,结论：P值小于0.05，拒绝原假设，认为各系数显著非零，各系数显著有效,3.6 预测,线性预测函数 预测方差最小原则,采用线
16、性和方差最小原则,建模步骤,时 间 序 列 图,计 算 样 本 相 关 系 数 偏 相 关 系 数,模型 识别,参数 估计,模型 检验,序 列 预 测,Y,N,若 为非周期平稳时间序列，则对其建立,若 经d阶差分后，建立了 模型；,则称对 建立了 模型。,若 周期为T, 对 经T步差分后，建立了,模型，则称对 建立了 季节 模型。,说明：,模型；,第4章 ARIMA实例分析,例4-1：1867-1938年英国绵羊数量，预测1939-1943年绵羊数量？,第一步：时序图做平稳性的初步判定,图1 时序图,建模步骤,从图1可以得到，该序列是不是明显的平稳，稍有趋势（可以考虑一阶差分），但也可结合数字特征进一步判别。,第二步：白噪声检验,图2序列白噪声检验图,建立模型前先进行进行
