圆锥曲线系方程的应用

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1、1 1 - 3 2 数学教学 2 0 1 6 年第1 1 期 圆锥 曲线系方程的应用 2 0 1 2 0 3 华东师范大学第二附属中学 刘初喜 我们知道， 用一个平面截圆锥面所得的截 线叫做圆锥 曲线 显然， 圆锥曲线是平面图形， 在高中平面解析几何中， 有关求圆锥 曲线方程 的问题， 大都采用定义法和待定系数法求解， 而采取待定系数法有时未知数多， 有时要分类 讨论， 比较麻烦 有没有更简便 的方法解决这 些 问题呢?本文就此谈谈圆锥 曲线系方程的应 用 一 、圆锥 曲线系方程定义 我们知道 圆锥曲线的方程是二元二次方 程 ( x ， ) =A z +B + +D +E +F = 0 ( A

2、 +B +C 0 ) 圆锥曲线分为以下类型： ( 1 ) 椭圆型( 包括圆、点和虚椭圆) ； ( 2 ) 双曲线型( 包括两条直线相交) ； ( 3 ) 抛物线型( 包括两条直线重合或平行) 若 圆锥 曲线 1： 1 ( ， )= 0与 ： ， 2 ( ， ) =0有交点， 则过交点的圆锥曲线方程 可表示为 ,X f l ( x ， ) + ( ， ) =0 ， 入 、 为实数 我们称此方程为圆锥曲线系方程 有时为了简化运算， 圆锥 曲线系方程也可 用 1 ( ， ) + ， 2 ( ， ) =0表示， 但是这个方 程表示的圆锥曲线系中少了 ： ， 2 ( ， ) =0 ， 在应用时要留心这一

3、点 关于圆锥曲线系有以下几个结论： 定理 1 给定五个点， 其 中任何三点都不 共线， 则过此五点有且仅有一条圆锥 曲线 推论 1 若直线 1 1 ( ， )= A l z+Bl y+ C 1 =0及 1 2 ( z ， ) =A 2 z +B 2 y + =0与圆 锥曲线 C： ， ( ， ) =0有交点， 则过交点的圆 锥曲线系方程为 厂 ( ， ) + l l ( z ， y ) 1 2 ( x ， ) = 0 推论 2 若直线 f 1： ? 1 ( ， ) = 0及 1 2： 1 2 ( z ， )=0有交点， 1 3： 1 3 ( z ， )=0及 f 4： Z 4 ( ， ) =0

4、有交点， 则过交点的圆锥 曲线系方 程为 ,X l l ( ， v ) t 2 ( z ， ) + 1 3 ( z ， y ) Z 4 ( x ， ) =0 定理 2 给定五点， 其中三点在直线 2 上， 另外两点不在 f 上， 则经过这五点的二次曲线 是唯一的， 并且是退化的二次 曲线( 即两条直 线) 二 、圆锥 曲线系方程的应用 在圆锥 曲线系方程中， 圆系方程在高中数 学中应用很多， 特在此作一些说明 1 过两已知圆交点的圆系方程 已知两圆的方程分别为 C 1 ： f l ( ， ) = + +Dl Z+E l y+F 1 =0和 ： ， 2 ( ， ) = + + D2 + +F 2

5、 =0 ， 则过 C l 、 交点 的圆系方程为 f( ， ) = ( ， ) + ， 2 ( z ， ) 取 =1 ， ：- 1时， 方程变为 ( D1 一D2 ) z +( E1 一E 2 ) +F 1 一F 2 =0 ， 此方程表示直线 当两圆相交时， 此直线为 1 、 两圆的 公共弦所在直线； 当两圆相切时， 此直线为两圆的公切线； 当两圆相离时， 此直线垂直于两圆的连心 线 2 过直线与圆交点的圆系方程： 己知直线 f ： A z+By+ = 0与圆C： + +Dz+E y+F=0相交， 则过直线 2 与圆 交点的圆系方程为 + +Dz+Ey +F+ ( A z+By +C ) =0

6、 例 l 求过圆 + 2 2 z +2 y +1 =0与 圆 + +4 一2 一4=0的交点， 且圆心 在直线 一2 y一5 =0上的圆方程 分析： 本题是求过两圆交点的圆的方程问 题， 可用过两圆交点的圆系方程求解 解： 设所求圆系方程为 0 + 2 2 +2 y + 1 + ( + +4 z一2 一4 ) =0 ( - 1 ) 2 0 1 6 年第 1 1 期 数学教学 一 船 整理得 ( 1+ ) +( 1+ ) +( 4 一 2 ) +2 ( 1一 ) +14 = 0 ， 其 圆心坐标 f ， 、 、 1+ l+ 。 因为圆心在直线 一2 y+5= 0上， 所 以 一2 +5 解 得

7、一8 ， 代入圆系方程， 并整理得所求 圆方程为 + 2+ 3 4 一1 8 一3 3 ： 0U 十 i i 一 = = = f f f 点评： 对过两圆交点的圆方程 问题， 用 圆 系方程求解可以优化解题过程 但注意在上述 解法中， 所设的圆系方程不包括 后面括号中 所对应的那个圆， 且参数 不等于 一1这一条 件 例 2 已知圆 0： + 22 z+4 y+1= 0和圆外一点 A ( 3 ， 4 ) ， 过点 作圆 D的切线， 切点分别为 C、D， 求过切点 、D 的直线方 程 分 析： 本题 是求过切 点的直线方程，由 切线性质知， 切 点在 以线段 A O 为直径的圆 上 ，即直线 D

8、 是 以线段 O 为直 径 的 圆与 圆 (二 ) 的公共弦， 故可用过两圆交点的圆系方程 求此公共弦方程 解：由切线性质知， 切点 、D 在 以线 段 (= ) 为直径的圆上由题知 A( 3 ， 4 )和O( 1 ， 一 2 ) ， 可推得 IAOl = v ( 3 1 ) 。 +( 4 +2 ) = 2 i -d ， 线段 A O 的中点为 ( 2 ，1 ) 所 以以线 段 A O为直径的圆方程为 ( 一2 ) +( 一1 ) = 1 0 ， 即 + 24 z一2 y一5= 0 设过两圆交点 、D 的圆系方程为 + y 2 2 z + 4 y +1 + ( + 一4 z一2 y 一5 )

9、=0 ， 令 ：一1 ， 得 +3 y +3 =0 ， 即直线 D 的 方程 点评：对过 圆切 点的直线 方程 问题， 可通 过构造过两圆交点的曲线系方程求得， 在解题 过程中要注意 曲线系方程 的参数 为何值时 表示圆， 参数 为何值时表示直线 例 3 四条直 线 1 1： +3 y一1 5= 0 ， 1 2 ： 一 一6 =0 ， 1 3 ： +5 =0 ， 1 4 ： =0 I习 成一个 四边形， 求 出使此 四边形有外接 圆时 的 值 解： 构造圆锥曲线系方程 ( z +3 y 一1 5 ) ( + 5 ) + ( 一 一6 ) y=0 ， 整理得 +( 8+ k ) z y +( 1

10、 5 一 ) 一1 5 z一( 7 5 +6 ) =0 ， 要 使圆锥曲线是圆， 只需 8 + =0 ， 1 5 一 =l ， 解得 =1 4 ， 尼=一三 经检验， 满足上述条件时， 四条直线围成 的四边形存在外接圆 点评：本例答案不唯一 若把圆锥曲线表 示为 ( +3 y一1 5 ) y + ( 一 一6 ) ( +5 y ) = 0时 ， 解得 =7 -8 ， =一 言 ， 此时四 条直线围 成的四边形也存在外接圆 若把圆锥曲线表示 成 ( z +3 y 一1 5 ) ( k x 一6 ) + ( +5 ) =0时， 可解得 =昙 ， =去 ， 但是此时的圆虽然经过 四条直线的四个交点，

11、 但不是四条直线围成的 四边形的外接 圆 例 4 如图 1 ，已知抛物线 2=2 z及点 P( 1 ， 1 ) ， 过点 P 的直线 1 1 、1 2与此抛物线交 于 点 、B、 、D证 明：A、B、 、D 四 点共圆的充要条件是直线 f 1与 2 2的倾斜角互 补 20 1 5 l _0 O5 V O5 1 0 1 5 2 0 2 5 图 1 证 明：( 方法一) 设 1 1 、1 2的倾斜角分别 为 、 ， 由题设知 、 ( 0 ， 7 r ) 直线 1 1的 参数方程为 = 1+ t c os ， l =1 +t s i n ， 代入抛物线方程， 整理得 t 2 s i n 2 +2 (

12、 s i n C O S 1 一 1= 0 设 上 述 方 程 的 两根 为 1 、t 2 ，则 t 1 t 2= 由参 数 的几何意义 ， 得 AP BP = 1 同理 P DP = 若 、 、 、D 四点共圆 则 AP 尸= CP DP 即 s i n Q= s i n 因为 、 ( 0 ， 7 r ) ， 所 以 s i n = s i n 又 因为 f 1 、2 2不重合， 所 以 Q+ =7 r 反过来， 若 + =丌 ， 则因 、 ( 0 ， 7 r ) ， 故 s i n = s i n ， 又 因为 0 ， 0 ， 所 _f _f 一 3 4 数学教学 2 0 1 6 年第 l

13、 1 期 以 = ， 即A P B P=C P D P 故 、B、 、D 四点共圆 ( 方法二) 将坐标原点( = ) 平移到点P处， 设 A C、BD 的斜率为 1 、 2 ， 则过 A、B、 、 D 四点的圆锥曲线系方程为 ( +1 ) 一 2 ( +1 ) + ( 一 1 ) ( 一 k 2 x ) =0 ， 即 A k l k 2 x +( 1 + ) 一 ( k l +k 2 ) x y 一2 x + 2 y一 1= 0 要使这四点共圆， 必须有 1 +A=A k l k 2 ， ( 1 + 2 ) =0 ， 所以 k l =- k 2 若 其 中有一 条直 线斜 率 不存 在，不妨

14、 设 f 2的斜率不存在， 则其方程为 X= 0 ， 于 是圆锥 曲线系方程 为 ( Y+1 ) 一2 ( X+1 ) + A( Y k l X ) = 0 ，即 一 A k l x +Y +A x y一 2 + 2y一 1= 0 要使这四点共圆， 必须有 =0且 A k 】 = 一 1 ， 而这是不可能的 所以 、B、 、D 四点共圆的充要条件 是直线 f l与 f 2的倾斜角互补 例 5 如 图 2 ，设 A B 是圆的一条定弦， 点 (= ) 为 A B上的定点， 过点 0任作圆的两条弦 D 和 EF， 弦 C F 交 (= ) 于点 ， 弦 D 交 于点 求证 一 一 图 2 证明：以

15、点 O 为原点， 弦 A B 所在直线 为 X轴建立平面直角坐标系 设圆的方程为 +Y +d x+e y+厂=0 ， 由于原点不在圆上， 故 厂0 设直线 C D 和 EF 的方程分别为 Xt l y=0和 Xt 2 y=0 将 C D、 F 两直线合成的图形视为退化 的圆锥曲线， 则其方程为 ( t l y ) ( x t 2 y ) =0 又 因 为 C、D、E、F 四个 点 在 圆 上，所 以 经过 C、D、E、F 四个点的圆锥 曲线系f 除 了C D、EF 两直线合成的图形以外1 方程可 以表示成 + + +e +厂 + ( t 1 ) ( t 2 ) = 0 ) 直线 C F 和 DE 合成的图形也可看作是 经过 、D、E、F 四个点的圆锥 曲线， 故存 在 A ， 使得方程 为 CF、DE两直线合成的 图形 的方程 设 I ( x l ， 0 ) 、J ( x 2 ， 0 ) 在 中， 令 Y=0 ， 则 1 和 2 是方程 X 2 +d x +f +A x =0的两个 不 同的根， 于是有 1 + 2=一 ， 1 2= ，1 + 0 ， 可 得 去 + 1 = _ dr f O ) 又因为点 (二 ) 为原点，