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1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）【详解人】佛山市南海区石门中学 黄伟亮 参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高.圆锥的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.一、选择题1.（复数）设为虚数单位，则复数（ ）A.B.C.D.解析：D.2.（集合）设集合，则（ ）A.B.C.D.解析：C.3.（向量）若向量，则（ ）A.B.C.D.解析：A.4.（函数）下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A.B.C.D.解析：A.在上是增函数.5.已知变量、满足约束条件，则的最大值为（ ）A.12B.11C.3D.解析：B.画出可行域，可知当代表直线过点时，取到最
2、大值.联立，解得，所以的最大值为11.6.（立体几何）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ）A.B.C.D.解析：C.该几何体下部分是半径为3，高为5的圆柱，体积为，上部分是半径为3，高为4的圆锥，体积为，所以体积为.7.（概率）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）xkb1. comA.B.C.D.解析：D.两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为.8.对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则（ ）A.B.1C.D.解析：C.，两式相乘，可得.因为，所以、都是
3、正整数，于是，即，所以.而，所以，于是.二、填空题（一）必做题（913题）9.（不等式）不等式的解集为_.解析：.的几何意义是到的距离与到0的距离的差，画出数轴，先找出临界“的解为”，然后可得解集为.10.（二项式定理）的展开式中的系数为_.（用数字作答）解析：20.的展开式通项为，令，解得，所以的展开式中的系数为.11.（数列）已知递增的等差数列满足，则_.解析：.设公差为（），则有，解得，所以.12.曲线在点处的切线方程为_.解析：.，所以切线方程为，即.13.（算法）执行如图2所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为_.ww w .x kb1.c om解析：8.第一次循环，；第二次循
4、环，；第三次循环，.此时退出循环，输出的值为8.（二）选做题（1415题）14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线与的交点坐标为_.解析：.法1：曲线的普通方程是（），曲线的普通方程是，联立解得，所以交点坐标为.法2：联立，可得，即，解得或（舍去），所以，交点坐标为.15.（几何证明选讲）如图3，圆的半径为1，、是圆周上的三点，满足，过点作圆的切线与的延长线交于点，则_.解析：.连接，则，因为，所以.三、解答题16.（三角函数）（本小题满分12分）已知函数（其中）的最小正周期为.（）求的值；（）设、，求的值.解析：（），所以.（），所以
5、.，所以.因为、，所以，所以.17.（概率统计）（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：、.（）求图中的值；（）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.解析：（）由，解得.（）分数在、的人数分别是人、人.所以的取值为0、1、2.，所以的数学期望是.18.（立体几何）（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面.（）证明：平面；（）若，求二面角的正切值.解析：（）因为平面，平面，所以.又因为平面，平面，所以.而，平面，平面，所以平面.（）由（）
6、可知平面，而平面，所以，而为矩形，所以为正方形，于是.法1：以点为原点，、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则、，于是，.设平面的一个法向量为，则，从而，令，得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为，于是二面角的正切值为3.法2：设与交于点，连接.因为平面，平面，平面，所以，于是就是二面角的平面角.又因为平面，平面，所以是直角三角形.由可得，而，所以，而，所以，于是，而，于是二面角的正切值为.19.设数列的前项和为，满足，且、成等差数列.（）求的值；（）求数列的通项公式；（）证明：对一切正整数，有.解析：（）由，解得.（）由可得（），两式相减，可得，即，即，所以数列（）是一个以为首项，3
7、为公比的等比数列.由可得，所以，即（），当时，也满足该式子，所以数列的通项公式是.（）因为，所以，所以，于是.点评：上述证法实质上是证明了一个加强命题，该加强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为的等比数列，其前项和为，希望能得到，考虑到，所以令即可.由的通项公式的形式可大胆尝试令，则，于是，此时只需证明就可以了.当然，的选取并不唯一，也可令，此时，与选取不同的地方在于，当时，当时，所以此时我们不能从第一项就开始放缩，应该保留前几项，之后的再放缩，下面给出其证法.当时，；当时，；当时，.当时，所以. 综上所述，命题获证.下面再给出的两个证法.法1：（数学归纳法）当时，左边，右边，命题成立.假设
8、当（，）时成立，即成立.为了证明当时命题也成立，我们首先证明不等式：（，）.要证，只需证，只需证，只需证，只需证，该式子明显成立，所以.于是当时，所以命题在时也成立.综合，由数学归纳法可得，对一切正整数，有.备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识.法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供）当时，显然成立.当时，显然成立.当时，又因为，所以（），所以（），所以. 综上所述，命题获证.20.（解析几何）（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.（）求椭圆的方程；（）在椭圆上，是否存在点，使得直线
9、：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.解析：（）因为，所以，于是.设椭圆上任一点，则（）.当时，在时取到最大值，且最大值为，由解得，与假设不符合，舍去.当时，在时取到最大值，且最大值为，由解得.于是，椭圆的方程是.（）圆心到直线的距离为，弦长，所以的面积为，于是.而是椭圆上的点，所以，即，于是，而，所以，所以，于是当时，取到最大值，此时取到最大值，此时，.x kb 1.c om综上所述，椭圆上存在四个点、，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大，且最大值为.点评：此题与2016年南海区高三8月摸底考试的试题相似度极高.（201
10、6年南海区高三8月摸底考试）已知椭圆的两焦点为、，并且经过点.（）求椭圆的方程；（）已知圆：，直线：，证明：当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.21.（不等式、导数）（本小题满分14分）设，集合，.（）求集合（用区间表示）；（）求函数在内的极值点.解析：（）考虑不等式的解.因为，且，所以可分以下三种情况：当时，此时，.当时，此时，.当时，此时有两根，设为、，且，则，于是.当时，所以，此时；当时，所以，此时.综上所述，当时，；当时，；当时，；当时，.其中，.（），令可得.因为，所以有两根和，且.当时，此时在内有两根和，列表可得1+0-0+递增极小值递减极大值递增所以在内有极大值点1，极小值点.当时，此时在内只有一根，列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点，没有极大值点.当时，此时（可用分析法证明），于是在内只有一根，列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点，没有极大值点.当时，此时，于是在内恒大于0，在内没有极值点.综上所述，当时，在内有极大值点1，极小值点；当时，在内只有极小值点，没有极大值点.当时，在内没有极值点.
