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1、1 第二章第二章 不定方程不定方程 2.1 2.1 二元一次不定方程二元一次不定方程 2 一、问题的提出一、问题的提出百钱买百鸡百钱买百鸡 鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？” 分析：设分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数，分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下：则可列出方程如下： 100 1 53100 3 xyz xyz 消去消去z得到方程得到方程 74100xy 这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内，这里，方程的个数少于未知数的
2、个数，在实数范围内， 方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数 或正整数或正整数解，这种方程解，这种方程组组称为不定方程。称为不定方程。 3 小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板以铺地板,则下列选择正确的是（则下列选择正确的是（ ） 分析：分析： 这类问题实质上是这类问题实质上是“不定方程求正整数解不定方程求正整数解” 的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所
3、以 两种图形内角拼在一起恰好要构成两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角，并度角，并 且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化 成不定方程求正整数解的问题。成不定方程求正整数解的问题。 A、 、 B、 、 C、 、 D、 设需正三角形地砖设需正三角形地砖m m块，正方形地砖块，正方形地砖n n块恰好铺成，块恰好铺成， 则有则有60m+90n=360.60m+90n=360. 4 二元一次不定方程的一般形式为二元一次不定方程的一般形式为 , , ,0(1)axbyca b cZ a b 174100.xy例例 求求方方程程所所有有正正整整数数解解
4、10077 25 44 xx y 4,18;xy 8,11;xy 12,4.xy 注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。 5 二、二元一次不定方程解的形式和判定二、二元一次不定方程解的形式和判定 定理定理1 1 若若1 1式有整数解式有整数解 00 ,xxyy 则则1 1式的一切解可以表示为式的一切解可以表示为 0101 1 , ,0, 1, 2 ( , )( , ) xxb t yya t ab abt a ba b 其其中中， （2 2） , , ,0(1)axbyca b cZ a b 00 ( , )1,(1),.a bxxbt yyat注
5、注：如如果果则则的的解解为为 6 定理定理1 1的证明：的证明： 证：把证：把2代入代入1，成立，故，成立，故2是是1的解。的解。 00 ,(1),(1)xyxy设设是是的的任任一一解解，又又是是的的解解. . 00 .axbyaxby所所以以有有 1010 ( )( )*a xxb yy （ ） 11 (,)1a b 1001 ( ), ayytZyya t 使使得得， 01 yya t 即即+ + 01 *.xxb t代代入入 （ ），得得 (1)axbyc 7 例例2 2 写出下列方程通解的形式：写出下列方程通解的形式： (1)582;xy (2)583;xy (3)6812;xy (4
6、)681.xy 00 8 ,5 ,0,1, 2,xxt yyt t 00 8 ,5 ,0,1, 2,xxt yyt t 00 4 ,3 ,0,1, 2,xxt yyt t 00 4 ,3 ,0,1, 2,xxt yyt t 00 8 ,5 ,0,1, 2,xxt yyt t 或或 00 4 ,3 ,0,1, 2,xxt yyt t 或或 8 说明：定理说明：定理1 1给出了方程通解的一般形式。这样，给出了方程通解的一般形式。这样， 解决问题的关键在于求一个特解。解决问题的关键在于求一个特解。 问题：所有的二元一次方程都有解吗？问题：所有的二元一次方程都有解吗？ 681.xy例例如如 定理定理2
7、 2 有整数解有整数解 ( , ) .a b c(1)axbyc 显显然然；( , )da b，记记 11 ,.d ccc d cZ若若，则则 .dasbt 可可以以表表示示为为 1( )cc asbt所所以以 11 ,xc s yc t取取， 即为方程即为方程1 1的解。的解。 9 三、求二元一次不定方程整数解的一般方法三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解，再根据定理先求一个特殊解，再根据定理1 1写出其通解。写出其通解。 对于方程对于方程(1),(1),若有解，则可化为若有解，则可化为 , ( , )1(3)axbyca b的的形形式式 一般地，利用一般地，利用辗转相除法
8、辗转相除法，得到，得到 1,asbt 00 ,.xcs yct则则 10 例例3 3 求方程求方程 的一个特殊解。的一个特殊解。 741xy 解：用解：用7 7、4 4进行辗转相除法进行辗转相除法 7413 4311 374 1 143 1 14(74 1) 1,所所以以，7( 1)421. 即即 00 1;2.xy 从从而而， 11 11132175xy例例4 4 求求 1 1的一切整数解。的一切整数解。 (111,321)3 解解： 原方程可以化为原方程可以化为 3710725(2)xy 371071xy先求先求 3 3 的一个整数解。的一个整数解。 1073734，3749+1， 从而从
9、而 1374 937(37 3 107) 937 ( 26) 107 ( 9) 故故3 3的一个整数解是的一个整数解是 26,9xy 2 2的一个整数解是的一个整数解是 2625,925xy 原方程的整数解为原方程的整数解为 2625107 ,92537 ,xt yt tZ 2625107 ,92537 ,xt yt tZ或或者者， 12 三、求二元一次不定方程整数解的一般方法三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 代数运算，观察法代数运算，观察法 1073725xy例例5 5 求求 的一切整数解。的一切整数解。 即得到原方程的一个整数解即得到原方程的一个整数解 从而所求的一切整数解为从而所求
10、的一切整数解为 25107 37 x y 解解： 254 3 37 x x 254 37 x y 令令 37 25 4 y x 1 9 6 4 y y 1y 取取3x8y 00 3,8xy 337 ,8107 ,xt yt tZ 13 三、求二元一次不定方程整数解的一般方法三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 变量代换法变量代换法 1761622xy例例6 6 求求 的一切整数解。的一切整数解。 解：原方程可化为解：原方程可化为 88811xy xyz令令，则方程可化为则方程可化为 7811.xz 11uxz再再令令，则方程可化为则方程可化为 741uz 2tuz又又令令，则方程可化为则方程
11、可化为 41tu41.ut 逐步往回代入，可得逐步往回代入，可得 227 ;ztut 2381 ;2588 ;xt yt tZ 14 习题讲解：习题讲解： 31 3.,0,0,( , )1PaxbyN aba b证证明明：方方程程 1. NN abab 的的非非负负整整数数解解的的个个数数为为或或 则其一切整数解可以表示为则其一切整数解可以表示为 设设 是原方程的一个非负整数解，是原方程的一个非负整数解， 00 ,xy 00 ,xxbt yyat tZ 0,0xy由由 00 axNax t abab t 的取值区间长度为的取值区间长度为 . N ab 从而得证。从而得证。 15 4.,1,1,
12、( , )1axbyN aba b证证明明：方方程程 NababNabab当当时时有有非非负负整整数数解解；时时则则不不然然； Nabab思思考考：呢呢？ （1）方程的一般解可以表示为）方程的一般解可以表示为 00 ,0, 1, 2,xxbt yyat t 在在a个单位长度内，个单位长度内，y一定有整数解。一定有整数解。 所以，一定存在某个所以，一定存在某个 ，使得，使得 tZ 0 01yyata 对此对此t，代入原方程，得，代入原方程，得 0 ()Nb yat x a (1)Nb a a (1)ababb a a 1 16 4.,1,1,( , )1axbyN aba b证证明明：方方程程 NababNabab当当时时有有非非负负整整数数解解；时时则则不不然然； Nabab思思考考：呢呢？ (2)Nabab当当时时，代入原方程，有代入原方程，有 假设存在非负整数解，则假设存在非负整数解，则 代入代入* *，显然不成立。，显然不成立。 (1)(1)(*)a xb yab ( , )1a b 又又， (1),(1)a yb x所所以以， 1,1.yma xnb即即 1,11xy ， ,1m n 从从而而，
