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1、第五章 平均指标和变异指标,学习目标： 1.理解平均指标的概念和作用； 2.掌握各种平均数的计算原则、方法与应用条件，学会计算主要的平均指标； 3.理解变异指标的作用、计算方法和运用条件； 4.掌握主要的变异指标。,第一节 平均指标,一、平均指标的概念 平均指标又称平均数，是同类社会经济现象总体内各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平，是对同质总体各单位某种数量标志的差异抽象化，从而反映同质总体一般水平的综合指标。它是某一变量数列分布的集中趋势的代表值。,例如，我们要研究一个企业工人的工资情况，企业中每个工人的工资是不同的，彼此之间存在着差异，我们不能以其中任意一个工人的工资
2、来代表整个企业工人工资的水平，应该用工人的平均工资来代表。,平均指标具有三个显著特点： （1）它是一个代表值，可以代表总体的一般水平； （2）它将总体单位之间的数量差异抽象化了； （3）它反映了总体分布的集中趋势。,二、平均指标的作用 （一）利用平均指标，可以了解总体的一般水平 （二）利用平均指标，可以对若干同类现象在不同空间进行比较分析 （三）利用平均指标，可以研究某一总体数值的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和趋势 （四）利用平均指标，可以分析现象之间的依存关系 （五）平均指标可作为某些科学预测、决策和某些推算的依据,三、平均指标的分类 （一）静态平均数和动态平均数 根据平均指标
3、反映内容的不同，可以把平均数分为静态平均数和动态平均数。 静态平均数：反映在同一时间范围内总体各单位某一数量标志一般水平的平均数。 动态平均数：反映不同时间、同一空间范围内总体某一指标一般水平的平均数。,（二）数值平均数与位置平均数 根据平均指标计算方法的不同，可以把平均数数值平均数和位置平均数。 数值平均数：根据总体各单位标志值计算的平均数，称为数值平均数。如算术平均数、调和平均数、几何平均数。 位置平均数：根据总体各单位标志值在变量数列中的位置计算的平均数，如众数和中位数。,第二节 算术平均数,一、算术平均数的基本形式 算术平均数是分析社会经济现象一般水平和典型特征的最基本、最常用的一种平
4、均指标。基本定义为：总体标志总量与总体单位总量之比。 算术平均数,例如，某企业某月职工工资总额为180 000元，职工总人数为200人，则该企业该月职工的平均工资为： 平均工资180 000200900（元） 算术平均数基本公式中的子项（总体标志总量）与母项（总体单位总数）的口径必须一致，各标志与各单位之间必须具有一一对应的关系，属于同一总体。它区别于强度相对指标。,练习： 分别指出以下指标属于平均指标还是强度相对指标。 1.每百户居民拥有电话机的数量 2.人均粮食产量 3.人口密度 4.粮食平均亩产量 5.从业人员平均劳动报酬 6.人均粮食消费量,二、算术平均数的计算方法 计算算术平均数时，
5、根据所掌握资料的不同，可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种形式。 （一）简单算术平均数 掌握了总体单位标志值及单位总数资料时，可直接利用上述公式计算算术平均数。 【例5-1】 某车间7名工人，日生产零件分别为16、14、18、21、23、 19、18件，试问该车间零件日均产量？,平均日产量 18.4（件） 该车间日平均生产零件18.4件，它代表这个车间日生产零件的一般水平。,简单算术平均数是总体标志总量与总体单位总量相比求出的平均数。其计算公式为： 式中： 表示简单算术平均数； 表示总体标志总量； 表示各单位标志值； 表示总体单位总量。 简单算术平均数计算方法简便，但其应用的前提是：变量数
6、列中各个变量出现的次数相同。,（二）加权算术平均数 当变量值已经分组，且各个标志值出现的次数不同时，就必须计算加权算术平均。 【例5-2】 某商场鞋帽部有16名职工，按日销售额分组，得到的变量数列资料见表5-1，试计算职工平均日销售额。,3,表5-1 某商场鞋帽部职工销售额资料及计算表,根据表5-1的资料，计算平均日销售额如下： 平均日销售额 = = = = 2800(元),在该平均数的计算中，不仅涉及到变量值x ，还涉及到另一个反映变量值出现次数的量，用“f ”表示。则有： = =,该计算公式表明，平均数的大小，不仅取决于总体各单位标志值的大小，而且还受到各单位标志值出现次数的影响。所以，式
7、中的“f ”在此起着“权衡轻重”的作用，故统计学中将其称为权数，将以上的计算方法称为加权算术平均法。,【例5-2】 已知某职工人数及工资总额资料，见 表5-2，计算该饭店职工的平均工资。 表5-2 某职工人数及工资总额资料,解： 平均工资= = = (元),练习： 某车间资料如表5-3，试计算该车间人均日产量。 表5-3 某车间工人日产量资料表,该车间人均日产量为： 42(件),如果我们掌握了组距式变量数列资料，也可以计算加权算术平均数。这时可用各组的组中值来代替各组标志值的实际水平。但应用这种方法需要有一个假定条件，即假定各单位标志值在各组内是均匀分布或对称分布的。 【例5-3】 某企业工人
8、工资情况如表5-4所示。,表5-4 某企业工人平均工资计算表,该企业工人平均工资为： = = = 765.4(元),计算加权算术平均需要注意： (1)权数的引入。通过前面的计算不难发现，简单算术平均数的大小，只受一个因素即变量值本身的影响，当变量值的水平较高时，平均数就较大；反之，平均数就较小。加权算术平均数的大小，却要同时受两个因素的影响；一是变量值本身，二是各个变量值出现的次数。 (2)权数的性质。平均数往往靠近次数最多的那个变量值。权数大的变量值对平均数的影响就大，权数小的变量值对平均数的影响就小。,(3)权数的实质。权数对算术平均数的影响，不是决定于权数本身数值的大小，而是决定于权数比
9、重的大小。权数比重 作为权数的各组单位数占总体单位数的比重，也叫权数系数。单位数所占比重大的组，其变量值对平均数的影响就越大，反之影响就小。 = = 式中， 为权数比重,推导过程如下： = = = =,练习1：有关资料如下，计算平均工资。,练习2：有关资料如下，计算工人平均日产量。,练习3：某局所属各企业按工人人数分组资料如下，计算该局各企业平均工人人数。,思考： 加权算术平均数与简单算术平均数的关系。,在社会经济统计中，往往由于缺少总体单位数资料，不能直接采用算术平均数的方法计算平均数，这时就需要将算术平均数的形式加以改变。例如：市场上某种蔬菜价格早市为0.80元/公斤、中午为0.75元/公
10、斤、晚市为0.60元/ 公斤。要计算该种蔬菜一天中的平均价格是多少，有如下两种情况。,(1)早、中、晚各买一公斤蔬菜，则平均价格为： 0.72（元/公斤）,（2）如果早、午、晚各买一元钱的蔬菜，则一天中所买蔬菜平均价格是用一天中所买蔬菜所花的金额3元钱除以该种数量4.25公斤,即（ )公斤，因此 0.71(元公斤),第二节 调和平均数,一、调和平均数的概念 调和平均数是各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数。一般有简单调和平均数和加权调和平均数两种。 二、简单调和平均数 简单调和平均数是各个标志值倒数的简单算术平均的倒数。在各标志值相应的标志总量均为一个单位的情况下求平均数时，应计
11、算简单调和平均数。,其计算公式为： = = 式中： 调和平均数； x 各变量值(即标志值)； n 变量值的个数。,【例5-4】 某商品在淡季、平季、旺季的价格分别是100元、116元、140元，假设分别以淡季、平季、旺季的价格购买金额相等的这种商品，求该商品的平均价格。 = = = =116.46(元),三、加权调和平均数 加权调和平均数是各个标志值倒数的加权算术平均数的倒数。在实际工作中各标志值相应的标志总量往往是不等的，在这种情况下求平均数时，应计算加权调和平均数。其计算公式为： = =,式中： m 总体各组标志总量； x 总体各组标志值； 总体标志总量。,在前面的例子中，如果每种蔬菜不是
12、各买1元，而是早市买4元钱的蔬菜，午市买3元钱的、晚市买2元钱的蔬菜，则平均每公斤的价格为： 0.73（元）,事实上，加权调和平均数与加权算术平均数并无本质的区别，只是由于掌握资料的不同，而采用了不同的计算形式而已。当已知各组标志值之和 xf 和各组标志值（或组中值）x，而不知道各组的次数f时，设mxf，则加权算术平均数的公式可做如下变形： ,练习：某车间资料如表5-5所示，计算平均日产量。 表5-5 某车间资料,调和平均数的特点： （1）调和平均数是根据总体的全部变量值计算的结果。当资料不完整时，无法计算。 （2）调和平均数易受极端值的影响，而且受极小值的影响大于受极大值的影响。这是因为调和
13、平均数中变量值采用的是倒数，小数字的倒数值大于大数字的倒数值。 （3）调和平均数的应用范围较小。如果在变量值中有一项为0，则无法求其确定的调和平均数。,第四节 几何平均数,一、几何平均数的概念 几何平均数就是n个变量连乘积的n次方根。 二、几何平均数的计算方法 由于掌握资料差异，几何平均数也分为简单几何平均数和加权几何平均数。 （一）简单几何数 设有n个变量值，x1, x2 , , xn , 由几何平均数定义可得出简单几何平均数的计算公式为： ,式中: G 几何平均数； 连乘符号。 【例5-5】 某机械厂生产机器,设有毛坯、粗加工、精加工、装配四个连续作业的车间，各车间某批产品的合格率分别为9
14、6%，93%，95%，97%。求各车间制品平均合格率。 分析：由于全厂产品的总合格率并不等于各车间制品的合格率总和，后续车间的合格率是在前一车间制品全部合格的基础上计算的。全厂产品的总合格率应等于各车间制品合格率的连乘积，所以不能采用算术平均数和调和平均数公式计算平均合格率，而应用几何平均法来求。,车间制品平均合格率 95.24%,第五节 众数和中位数,一、众数 （一）众数的概念 众数是指总体中出现次数最多的标志值。它是总体中最常用遇到的标志值，是最普遍的最一般的标志值。 （二）众数的确定 确定众数，首先要将数据资料进行分组，编制变量数列；然后，根据变量数列的不同种类采用不同的方法。,(1)根
15、据单项式数列确定众数 在单项式数列情况下，确定众数比较简单，只需要观察找出次数出现最多的那个标志值即可。 (2)根据组距式数列确定众数 根据组距式数列确定众数，需采用插补法。一般步骤是先确定众数组，然后计算众数的近似值。 【例5-6】 2003年某地区职工家庭人均月收入资料见表5-5。,表5-5 2003年某地职工家庭人均月收入资料表,从表5-5中的家庭户数列可知，家庭户数最多的是3200户，它所对应的人均月收入为500600元。因此，500600元这一人均月收入组就是众数组，它反映了人均收入的一般水平。然后利用下限公式或上限公式计算众数的近似值： 下限公式： 上限公式：,式中，M0 众数； U 众数组的上限； L 众数组的下限； 1 众数组次数与下一组次数之差； 2 众数组次数与上一组次数之差； i 组距。 根据表中的资料，将有关数字代入下限公式，得到众数的近似值：,众数具有以下几个特点： 第一，由于众数是根据变量值出现的次数确定的，不需要通过全部变量值来计算，因此它不受极端值的影响。 第二，在组距数列中，各组颁布的次数组距大小的影响，所以根据组距数列确定数列时，
