力学量随时间的演化与对称性讲义

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1、1. 力学量的平均值随时间的变化,2.守恒量,若,则,A称为守恒量,3. 守恒量的性质,如果力学量A不含时间，若A, H=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。,第4 章 力学量随时间的演化与对称性,4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系,5. 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 （2）在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变,(1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的

2、数值. 守恒量对应的量子数称为好量子数 (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。,6. 能级简并与守恒量的关系,定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 F,H=0,G,H=0,F,G0, 则体系能级一般是简并的。,推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不 简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态E， 则E必为F 的本征态。,7. 位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为,rp的平均值随时间的变化为,对定态有,则,（定态下力学量的平均值不随时间 变化）,思考题： rp并不是厄米算符，应进行厄米化,这是否会影响位力定理得证明。,答：从位力定理的证明可以看出，

3、将rp厄米化后并不能影响到 定理的证明。,例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即,证明,8. Feynman-Hellmann定理,设体系的束缚态能级和归一化的能量本征态为,若H中含有参数，则有,9. 全同粒子体系与波函数的交换对称性,(1) 两个全同粒子组成的体系,(2) N个全同Femi子组成的体系,三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个 不同的单粒子态k1, k2, k3 上，则反对称波函数为,Slater 行列式,N个全同Bose子组成的体系,其中P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成 的置换，这样的置换数为,4.3 Schrdi

4、nger图像和Heisenberg图像,1. Schrdinger 图像,力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。,力学量的平均值,波函数随时间演化方程-Schrdinger 方程,力学量平均值随时间的变化,波函数随时间演化可写成,称为时间演化算符。,(4) 代入(2)得到,则,积分得,可以证明：,是幺正算符。,2. Heishenberg 图像,波函数不变，算符随时间变化,算符的演化方程-Heisenberg 方程,利用U的幺正性，及U+HU=H,则,上式称为Heisenberg方程。,利用U的幺正性，及U+HU=H,则,上式称为Heisenberg方程。,例题1 自由粒子,p为守恒量，则

5、p(t)=p(0)=p,则,例题2 一维谐振子,而,则,其解为,则,根据初始条件,则,例题3 求一维谐振子在态n下的动能和势能的平均值,解： 一维谐振子的能量本征值为,由位力定理知:,则,所以,例题4 判断下列说法的正误,在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并）,证明：

6、对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有,则,两边同时积分得,例题5 N=3 Bose子体系，设三个单粒子态分别是,解： (a) n1=n2=n3=1（只有1个）,(b) n1=2,n2=1,n3=0（共有6个）,(c) n1=3,n2=0,n3=0（共3个）,例题6(4.2) 解：,(a) 两全同波色子,（c )两个不同粒子,例题7（4.3） 解：,设粒子的总数为n，量子态的总数为k. 首先对n 个粒子进行编号,(1)粒子可以分辨,每个粒子占据量子态的方式有k种，则n个粒子占据量子态的 方式（量子态数目）有,若k=3, n=2, 则有,若k=3, n=3, 则有,(2) 粒子不可分辨，每个量子

7、态上的粒子数不受限制，波函数对称,量子态总数,若k=3, n=2, 则有,若k=3, n=3, 则有,(3) 粒子不可分辨，每个量子态上只能有一个粒子（kn）,若k=3, n=2, 则有,若k=3, n=3, 则有,量子态总数,例题8. 三个不计自旋及相互作用的波色体系，其中单粒子可能的态 是1,2, 试求出体系的归一化波函数。,解：,例题9 现有3个全同的波色子，可以分布在4个不同的量子态上， 则该体系可能的状态数目有几种？,答：由统计物理学的知识知：,3个粒子4个量子态,例题 10 两个无相互作用的粒子置于一维无限深势阱中，对下列 两种情况写出两粒子体系可具有的两个最低总能量值: 两个自旋

8、为1/2的可区分粒子 (2) 两个自旋为1/2的全同粒子,解： (1) 对两个自旋为1/2的可区分粒子，波函数不必对称化。 其基态总能量为2E1, 波函数为,四重简并,第一激发态总能量是E1+E2, 波函数是,八重简并,(2)对两个自旋为1/2的全同粒子，波函数必须是反对称的,其基态总能量为2E1，波函数为,非简并,第一激发态总能量是E1+E2，波函数是,四重简并,其中,例题 11 对于无限深势阱中运动的粒子（见图）证明,并证明当n时上述结果与经典结论一致。,证明：归一化的波函数是,则,在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a） 范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1

9、， 几率密度,故当,时二者相一致。,例题12 计算,解：,则,而,上式中第一项分部积分两次后为零，第二项可写为,所以,例题13 设归一化的波函数|满足薛定谔方程,定义密度算符（矩阵）为,(1) 证明任意力学量F在态|下的平均值是,(2) 求出的本征值,(3)导出随时间演化方程,证明： (1),(2),则其本征值是0,1,(3),由薛定谔方程,得,利用上述两式得,即,例题14 粒子在势场V(x)中运动并处于束缚定态n(x)中，证明粒子 所受势场作用力的平均值为零。,证明：粒子所受势场的作用力为,则,例题15 设某一体系的哈密顿算符为,其中x是位置算符，p为其共轭动量算符，m是粒子的质量， 写出p

10、随时间的演化方程,解：,例题16. t=0时刻体系处于力学量A的某一本征态上，如在其后 任何时刻都处在该态上，A需要满足什么条件？,答： A是守恒量，即A,H=0, 两者有共同的本征态。演化后的波 函数是,17 对于一个不含时间的厄米算符F而言，在含时间的状态 |(t), (t0)上，它的取值概率是W(t)、平均值是F(t), 在哪两种 情况下W(t)与F(t)皆与时间无关。,解: (1) F是守恒量，即,(2) |(t) 是定态,18. 对于,是常数，下列哪些量是守恒量,答： 守恒量是,18. 电荷为q，质量为m的无自旋粒子在磁场B中运动，其哈密顿 算符可近似写成,(1)指出(不必证明)下列

11、各物理量中的守恒量,(2)任选一个非守恒量，写出其海森堡运动方程,(3)写出的构造式(用m,q表示)及B的方向。,解：（1） 守恒量是,(2),19. 单粒子在一维势阱中运动，,(1)在坐标表象中求体系束缚定态的能量与相应的归一化波函数。 (2)在动量表象中求体系束缚定态的能量与相应的归一化波函数。,解： (2)薛定谔方程,在动量表象中有,即,其中,代入薛定谔方程得,(1),两边对p求导数得,解得,(2),其中A是归一化常数。,将(2)代入(1)得,由此可得束缚态的能量是,(3),将(3)代入(2)可得,归一化波函数,20 在p表象中计算一维谐振子的定态能量和定态波函数,解：薛定谔方程为,在动

12、量表象中有,即,其中,代入薛定谔方程得,以后的求解见陈p97,21. t=0时刻自由粒子的波函数是,求此时粒子动量的可能取值、概率和平均值,解：,22设|n,l,m是氢原子H, L2,Lz的共同本征函数，r是半径，求,解：库仑势是,即势是r的-1次齐次函数，由位力定理得,则,所以,径向波函数满足的等效一维问题中,由Feynman-Hellmann定理,得,23 一个质量为m的粒子在中心力场V(r)中运动，试证明,其中E代表能级，是相应的束缚定态波函数，是H中的参量,(2)对于确定节点（即nr相同）的状态，若轨道角动量越大 （即l越大），则其能量越高。,证明: (1)由于,则,(2)在中心力场中

13、势能项是,则由F-H定理得,显然,即E随l的增大而升高。,2012年山东大学研究生入学考试量子力学试题,一、填空题(25分),量子力学中的力学量必须是( ), 这是为了使力学量的本征值 是(_), 测量力学量所得的值一定是该力学量的 ( ), 只有当 粒子处于力学量的( )时，才能具有确定的测量值。 测量力学 量的不确定来源于 ( )，两个力学量同时具有确定值的条件是 ( ),2. 力学量H有两个本征态|n1，|n2, 对应的本征值是E1和E2， 则在该力学量表象中H可以表示为( ), 体系可能处的状态是 ( ), 可能的测值是( ), 相应的测量几率是( ).,二、计算题(25分),一个质量

14、为m的粒子处于势场,中，且t=0时粒子处于态,求任意时刻t的波函数。,三、计算题(25分),处于宽度为a的一维无限深方势阱(0xa)中的粒子受到微扰，,求粒子基态能量的一级修正值。,四 计算题(25分),t=0时，氢原子的波函数是,其中下标分别是量子数n,l, m的值。,求： (1)什么是能量的期望值？ (2)任意时刻t体系处于l=1,m=1态的几率 (3) 电子距离质子10-10cm以内的概率(求近似解),五 计算题(25分),在某自旋态|测量力学量sz得到/2的概率是1/3, 测量力学量 Sx得到/2的概率是1/6.求； (1) 自旋态|； (2),六 计算题(25分),设在绝对零度时，一维线性谐振子势,中有10个自旋为1/2，质量为m的全同粒子组成的体系。忽略 粒子之间的相互作用，已知这10个粒子的平均能量5eV.,试回答： (1)什么是全同性原理？ 费米统计与玻色统计的区别？ 全同性原理对费米子和玻色子有什么不同?,(2)如果同样温度下该势场中有20个上述全同粒子，则体系 的平均能量是？ (3)如果同样温度下该势场中有20个自旋为0，质量为m的 全同粒子，那么体系的平均能量又是多少？,