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1、学而思行程专题第14讲第一节 简单行程问题学习目标 本讲主要通过例题加深对行程问题的三个基本数量关系的理解。 在历年小升初与各类小学竞赛试卷中，行程问题的试题占的比值是相当大的，所以学好行 程问题不但对于应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足轻重的关键性作用，而且也为初中阶 段的学习打下良好的基础。 我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题. 行程问题主要涉及时间 (t)、速度 (v)和路程 (.s)这三个基本量，它们之间的关系如下： 路程 = 速度时间 可简记为： s = vt 速度 = 路程时间 可简记为： v = s / t 时间 = 路程速度 可简记为： t
2、 = s / v 路程一定，速度与时间成反比 速度一定，路程与时间成正比 时间一定，路程与速度成正比 显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【例 1】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 1：2：3，某人走这三 段路所用的时间之比是 4：5：6，已知他上坡时每小时行 2.5 千米，路程全长为 20 千米，此人 走完全程需多少时间？ 【例 2】甲、乙两地相距 60 千米，自行车队 8 点整从甲地出发到乙地去，前一半时间每分钟 行 1 千米，后一半时间每分钟行 0.8 千米。自行车队到达乙地的时间是几点几分几秒？ 【例 3】某人上山时每走 30 分钟休息 10 分钟，下山
3、时每走 30 分钟休息 5 分钟，已知下山的 速度是上山速度的 1.5 倍，如果上山用了 3 时 50 分钟，那么下山用多少时间？ 【例 4】 汽车以 72 千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以 48 千米/时的速度返回甲地， 求该车的平均速度。 【例 5】 甲、乙两车往返于 A、B 两地之间，甲车去时的速度为 60 千米/时，返回时的速度为 40 千米/时，乙车往返的速度都是 50 千米/时，求甲、乙两车往返一次所用的时间比. 【例 6】 从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的2 /3，一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行 7 时，这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时
4、间？ 【例 7】 一辆车从甲地行往乙地，如果把车速提高 20%，那么可以比原定时间提前 1 小时到 达；如果以原速度行驶 100 千米后再将车速提高 30%，那么也比原定时间提前 1 小时到达， 求甲、乙两地的距离。第二节 典型相遇 追及问题【学习目标】本专题主要研究的是行程中的典型相遇与追及问题，在简单行程问题学习的基础 上进行更深的学习，使学生在解题的过程中充分的利用线段图，使较具体化、形象化、并融合 多种方法，达到真正解题的目的.相遇问题 路程速度和=相遇时间 路程相遇时间=速度和速度和相遇时间=路程追及问题 路程速度差=追及时间 路程追及时间=速度差 速度差追及时问=路程 【例 1 】
5、甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 60 千米，甲车从 A 地，乙车从 B 地同时出发 相向而行，两车相遇后 4.5 时，甲车到达 B 地，A、B 两地相距多少千米？ 【例 2】A、B 两地相距 1800 米，甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，相遇后 甲又走了 8 分到达 B 地，乙又走了 18 分到达 A 地，甲、乙二人每分钟各走多少米？ 【例 3】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人下山速度都是上 山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快，两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当 乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰，那么甲回到出发点
6、共用多少小时？ 【例 4】 两辆拖拉机为农场送化肥，第一辆以 9 千米/时的速度由仓库开往农场，30 分钟后， 第二辆以 12 千米/时的速度由仓库开往农场，问 (1)第二辆追上第一辆的地点距仓库多远？ (2)如果第二辆比第一辆早到农场 20 分钟，那么仓库到农场的路程有多远？ 【例 5】如图，一个长方形的房屋长 13 米，宽 8 米，甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发， 甲每秒行 3 米，乙每秒行 2 米，问：经过多长时间甲第一次看见乙？ 【例 6】 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，在距 B 地 54 千米处相遇，他们各自到达对 方车站后立即返回原地，途中又在距 A 地 42 千米处
7、相遇，求两次相遇点的距离。第三讲 多人 多次相遇问题 【知识储备】 相遇分为：迎面相遇、追及相遇、端点相遇 (可以理解为追及相遇，也可以理解为迎面相遇) 设 AB 两地路程“S” ，则： 甲、乙两人在 A、B 往返行走，均从 A 点同时同向出发，则第 n 次追及相遇时，甲、乙两人的 路程差为 2nS; 甲、乙两人在 A、B 往返行走，均从 A 点同时同向出发，则第 n 次迎面相遇时，甲、乙两人的 路程和为 2nS; 甲、乙两人在 A、B 往返行走，分别从 A、B 两点相向出发，则第 n 次追及相遇时，甲、乙两 人的路程差为 (2n-1)S； 甲、乙两人在 A、B 往返行走，分别从 A、B 两点
8、相向出发，则第 次迎面相遇时，甲、乙两 人的路程和为 (2n-1)S： 甲、乙两人合走 1 个全程中，甲走 a，则甲、乙两人合走 3 个全程中，甲走 3a。1、 迎面相遇2、追及相遇3、端点相遇【学习目标】 1. 了解多人相遇与多次相遇问题的特点，掌握基本的解题方法。 2. 在解答多人相遇问题时，能够利用追及问题的方法求出相遇的时间，最后求出总路程。 3. 在解答多次相遇问题时，利用线段图、S-t 图和比例知识，找到第 N 次相遇点和 N+M 次相 遇点间的距离与全程的关系。 【重点难点】 1. 在解答多人行程问题时要从两个人的情况开始分析，并明确几个人路程、时间、速度的相互 联系。 2. 学
9、会用线段图和 S-t 图分析多次相遇问题。 3. 灵活的运用路程、速度、时间三个量间的比例关系，并能够灵活地转化。 【铺垫】 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲、乙的速度比是 4：3，两人相 遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知两人第二次相遇的地点距 第一次相遇的地点 300 米，则 A、B 两地相距多少千米？ 总结 1. 两人从 B 两地做相遇运动，第一次相遇共走 1 个全程，第二次迎面相遇共走 3 个全程、第 三次迎面相遇共走 5 个全过程，从而可以得到，第 N 次迎面相遇共走 2N-1 个全过程。 2. 通过线段图，我们发现了“两次相遇点相
10、距的 300 米，恰好是 2 份的路程”这个隐蔽条件。 线段图是解答行程问题很好的方法。 一、多次相遇问题 【例 1】小明和小英各自在公路上往返于甲、乙两地运动，即到达一地便立即折回向另一地运 动。设开始时他们分别从两地相向而行，若在距甲地 4 千米处他们第一次迎面相遇，第二次迎 面相遇的地点在距乙地 3 千米处，则甲、乙两地距离是多少千米？ 总结 1. 通过分析可以发现，如果两人的速度比大于 2：1，那么在两人第二次迎面相遇前一定会在 背后追上一次。 2. 本题属于开放性题目，这是近几年重点中学入学考试的热点问题，这一类题需要同学们周密 思考把答案做全。 【例 2】A、B 两地相距 950
11、米，甲、乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小时，甲步行，每分钟走 40 米；乙跑步，每分钟行 150 米，则甲、乙两人第几次迎面相遇时距 B 地最近？ 对含有追及相遇的问题我们可以采用“S-t 图”+“沙漏几何模型”形象解决。 【例 3】 A、B 两地相距 1000 米，甲从 A 地、乙从 B 地同时出发，在 A、B 两地间往返锻炼。 乙跑步每分钟行 150 米，甲步行每分钟行 60 米。在 30 分钟内, 甲、乙两人第几次相遇时距 B 地最近？最近距离是多少？ 【拓展】甲、乙二人在 60 米的泳池中往返练习游泳，甲每分游 30 米，乙每分游 20 米，两人同 时从同一端出发，30 分钟共相遇
12、几次？(不算开始那次) 二、多人相遇问题 【例 4】 甲、乙、丙三人中，甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米， 丙每分钟走 70 米。甲乙 两人从东镇、丙一人从西镇同时相向出发，丙遇到乙后 2 分钟再遇到甲，两镇距离的1/4是多少米？(第一届迎春杯竞赛试题) 【例 5】A、B 两地相距 203 米，甲、乙、丙的速度分别是 4 米/分、6 米/分、5 米/分。如果甲、 乙从 A 地，丙从 B 地同时出发相向而行那么，在_分钟或_分钟后，丙与乙的 距离是丙与甲的距离的 2 倍。 三、多角度思考问题 例 6 有一辆沿公路不停地往返于 M、 两地之间的汽车。 N 老王从 M 地沿这条公路步行向
13、N 地， 速度为每小时 3.6 千米，中途迎面遇到从 N 地驶来的这辆汽车。经 20 分钟又遇到这辆汽车从 后面折回，再过 50 分钟又迎面遇到这辆汽车，再过 40 分钟又遇到这辆车再折回。M、N 两地 的路程有多少千米？ 总结 从上面的分析可以看出，比较的角度不同，得到的结论也就不同。解答一从 70 分与 90 分的路 程进行比较，得到了人和车的速度和；解答二和三从 20 分与 40 分的路程进行比较，得到了人 与车的速度比和车速这两个关系；解答四、五从 20 分与 50 分、40 分与 50 分的路程进行比较， 得到了某一段的路程。 这些不同的结论都是从不同的角度比较得到的， 这样就做到了一题多解。
