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1、景德镇市2019届高三第二次质检试题数学（文科）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合中元素个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域可解得x的范围，结合，即可求出A中元素的个数。【详解】由题意得，即，解得，又，所以满足条件的x为1,2,3,4,5，共5个，故选C【点睛】本题考查函数的定义域问题，考查了一元二次不等式的解法，属基础题，2.若（，为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案
2、】D【解析】【分析】化简可得，根据两复数相等原则，解出a，b，即可得结果【详解】由题意得，所以，所以，所以复数在复平面内对应点为（3，-2）在第四象限【点睛】本题考查两复数相等的概念，即两复数实部与实部相等，虚部与虚部相等，属基础题。3.袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件，用随机模拟的方法估计事件发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132
3、220001231130133231031320122103233由此可以估计事件发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】事件A即为表中包含数字0和1的组，根据表中数据，即可求解【详解】事件A包含“瓷”“都”两字，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0,1的组有021,001,130,031,103，共5组，故所求概率为，故选C【点睛】本题考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属基础题。4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】通过三视图的俯视图可知，该几何体是由两个旋转体组成，故选5.设函数，若角
4、的终边经过，则的值为（ ）A. B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意得，代入分段函数，即可求解。【详解】因为角的终边经过，所以，所以，则，故选C【点睛】本题考查三角函数的概念，分段函数求值，考查计算化简的能力，属基础题。6.已知实数，满足不等式组，若的最小值为（ ）A. 3B. 9C. 22D. 25【答案】B【解析】【分析】根据约束条件，做出可行域，利用目标函数的几何意义，找到最优解，从而得到最值【详解】做出可行域，如图所示，做出直线：，平移直线，由图可知，当过点A（2,1）时，截距最大，此时z最小，所以，故选B【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属基础题7.执行如下图所
5、示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】执行框图，写出每次循环得到的和i的值，得到取值的周期，当i=2019时，退出循环，输出即可得答案。【详解】开始=4，i=1，执行第一次循环，=，i=2，执行第二次循环，=，i=3，执行第三次循环，=4，i=4故的取值周期为3，由于2019=6733，可得当i=2019时，退出循环，此时输出的值为，故选B【点睛】本题考查循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的和i的值，根据循环的周期，得到退出循环时的的值，属基础题。8.若直线（，）过点，当取最小值时直线的斜率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析
6、】【分析】将点带入直线可得，利用均值不等式“1”的活用即可求解。【详解】因为直线过点，所以，即，所以当且仅当，即时取等号所以斜率，故选A【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题。9.已知正四面体的内切球的表面积为，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由内切球的表面积，可得内切球半径r=3，结合正四面体的性质，可求出正四面体棱长为，代入公式，即可求解。【详解】设内切球半径为r，由题意得，所以内切球的半径，即，设正四面体半径为，由三角形的性质可得，,所以在中，又，所以，又因为，即所以，所以，在中，所以
7、过该四面体的一条棱以及球心的截面面积为，故选C.【点睛】本题考查正四面体的内切球及其几何性质，考试空间想象，计算推理的能力，属中档题。10.已知在上有最小值，则实数的取值范围可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据x的范围，可求出的范围，结合的图像与性质，即可求解。【详解】因为，所以，因为有最小值，结合的图像与性质可得，即，故t的范围可以是，故选D【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查分析推理的能力，属基础题11.已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，点，则的最小值是（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】过点P做PM垂直于准线，垂足为M，由抛物线的
8、定义可得,则，为锐角。即当PA和抛物线相切时，最小。再利用导数的几何意义求切点坐标，即可求解。【详解】由题意可得，抛物线的焦点F（0,1），准线方程为过点P做PM垂直于准线，垂足为M，由抛物线的定义可得,则，为锐角。故当最小时，最小，即当PA和抛物线相切时，最小。设切点，由，得，则PA的斜率为解得，即，此时，所以，故选A【点睛】本题考查抛物线的定义，导数的几何意义，考查分析推理，化简求值的能力，综合性较强，属中档题。12.函数定义域为，且函数满足:对任意，非零实数，满足 ，则下列关系式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】因为 ，可得，又对任意，可得在上单调递减，结
9、合的奇偶性，可得上单调递增，分析选项，即可得答案。【详解】因为 ，整理得 ，即，又对任意，即在上单调递减，又=所以为偶函数，即上单调递增， 结合，可得，即，故选D【点睛】本题考查函数的单调性，奇偶性，考查推理计算，转化化归的思能力，属中档题。第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.过年时小明的舅舅在家庭微信群里发了一个10元的红包，红包被随机分配为2.51元，3.32元，1.24元，0.26元，2.67元，共五份.现已知小明与爸爸都各自抢到了一个红包，则两人抢到红包的金额总和不小于4元的概率为_.【答案】【解析】分析】分别列出两人各抢一个红包可能的情况，及金额总和不小于4的
10、情况，根据古典概型公式，即可求解。【详解】小明与爸爸各抢到一个红包，总的可能情况有（2.51，3.32）、（2.51，1.24）、（2.51，0.26）、（2.51，2.67）、（3.32，1.24）、（3.32，0.26）、（3.32，2.67）、（1.24，0.26）、（1.24，2.67）、（0.26，2.67）共10种。满足条件，即两人抢到红包的金额总和不小于4元的共有4种：（2.51，3.32）、（2.51，2.67）、（3.32，1.24）、（3.32，2.67）。所以满足条件的概率为，故答案为。【点睛】本题考查古典概型及其概率的计算问题，需认真审题，利用列举法写出满足条件即金额总
11、和不小于4的情况是解题的关键，考查学生推理运算的能力，属基础题。14.已知两个单位向量，的夹角为，则_.【答案】【解析】【分析】，结合数量积公式，代入数据，即可求解。【详解】= ，所以，故答案为。【点睛】本题考查向量的数量积公式的应用，属基础题15.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_.【答案】【解析】【分析】利用同角的基本关系式，可得，代入所求，结合辅助角公式，即可求解。【详解】因为，所以，所以，故答案为【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题16.函数的图
12、像经过四个象限，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】当时显然不成立，当时，分和两种情况讨论原函数的单调性，求出极值，当，只需要极大值大于0，极小值小于0，即可求出的范围，同理当时，也可解出的范围。【详解】，当时，为单调递增函数，显然不成立，当时，当时，为单调递增函数， 当，时，为单调递减函数由题意得，即解得，又，所以同理当时，解得，所以，【点睛】本题考查利用导数求函数极值问题，考查计算化简，推理想象的能力属中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.17.已知首项为1的等
13、差数列的前项和为，已知为与的等差中项.数列满足.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和为.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）设公差为d，则，即可求出d，代入等差数列的通项公式，即可求解。（2）利用错位相减法，即可求出前项和为【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意可列方程：，解得：，. ，.（2）【解1】：，下式减上式，即： ，【解2】： ，.【点睛】本题考查等差数列性质的运用，通项公式的求解，错位相减法求数列前n项和，考查计算化简，分析求解的能力，属基础题。18.如图，在三棱锥中，.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析】（1）由
14、题意得为正三角形，所以，结合余弦定理，可得，即，又根据线面垂直的性质定理可得，再根据线面垂直的判断定理，即可得证。（2）由题意得 ，代入数据，即可求解。【详解】（1），又，为正三角形，又，由余弦定理可知，根据勾股定理可知.又，.（2）， ，即三菱锥的体积为.【点睛】本题考查空间几何元素垂直关系的证明，考查空间几何体体积的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握程度，属基础题。19.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前5天抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下：1234550607080100经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系. （1）若从这5天随机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过70的概率；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性
