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1、用向量方法求角与距离基础巩固强化1.(2012云南省统考)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是棱AB、BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于()A.B.C. D.答案D解析解法1：设点C1到平面B1EF的距离h.如图，连结EC1，FC1，由题意得|B1E|B1F|，|EF|，等腰B1EF底边EF上的高为：h1，则SB1EF|EF|h1，那么VC1B1EFSB1EFhh；又VEB1C1FSB1C1F|EB|(22)1，且VC1B1EFVEB1C1F，即h，得h，选D.解法2：以B1为原点分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B1(0,0,0)
2、，C1(2,0,0)，E(0,1,2)，F(1,0,2)设平面B1EF的法向量为n(x，y，z)，则xy2z.令z1得n(2，2,1)，又(2,0,0)，C1到平面B1EF的距离h，故选D.2在直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BCCACC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值是()A. B.C. D.答案A解析建立如图所示的坐标系，设BC1，则A(1,0,0)，F1，B(0，1,0)，D1，1，即，.cos，.3已知正方体ABCDA1B1C1D1，则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是()A. B.C. D.答案C解析如图，以D为坐标原
3、点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则令x1得，n(1，1，1)，设直线BC1与平面A1BD所成角为，则sin|cos，n|，cos.4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是()A30 B45C60 D90答案D解析解法1：取CN的中点H，连接MH、A1H，则MHDN.设正方体的棱长为2，则DN，MH
4、，A1M22222129.从而A1H2(2)22222A1H2MH2A1M2，A1MH90解法2：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB1，则D(0,0,0)，N(0,1，)，M(0，0)，A1(1,0,1)，(0,1，)，(1，1)，0，A1M与DN所成角的大小为90.5(2013江西吉安一中上学期期中考试)在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析设A1B1a，B1C1b，C1Cc，由条件知CB1C160，DC1D
5、145，1，cab，设b，则ac3，A1D212，A1C12，C1D218，B1C1A1D，A1DC1为异面直线B1C与C1D所成的角，cosA1DC1，故选D.6(2011广东省江门模拟)如图，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AEBF.当A1、E、F、C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为()A. B.C. D.答案B解析以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(6,0,6)、E(6,3,0)、F(3,6,0)，设平面A1DE的法向量为n1(a，b，c)，依题意得令a1，则c
6、1，b2，所以n1(1,2,1)，同理得平面C1DF的一个法向量为n2(2，1,1)，由题图知，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为.7(2012河南郑州质检)将斜边长为2的等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成二面角BADC，则三棱锥BACD的体积的最大值为_答案解析欲使三棱锥BACD的体积最大，因为底面ACD面积一定，故当点B到平面ACD的距离最大时，体积最大，因此当折成直二面角时，所得的三棱锥的体积最大，其最大值Vmax.8(2011海淀检测)若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为_答案解析设A1C1到底
7、面的距离为a(a0)，以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B1(1,1，a)，(0,1，a)，又平面ABCD的一个法向量n(0,0,1)，由条件知sin60|cos，n|，a.9已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的正弦值为_答案解析设正三角形ABC的中心为O，过O作直线lBC，分别以直线l、AO、PO为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，则底面ABC的一个法向量n(0,0,1)，由条件知A(0，0)，设P(0,0，a)(a0)，由|2得，a，设侧棱与底面所成角为，则sin|cosn，|.点评由上述解
8、答过程可见，本题不如用综合几何方法简便，事实上图中PAO为直线PA与底面ABC所成的角，cosPAO，sinPAO，故在解题中，要注意依据所给条件灵活选取解法10如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为a，D是棱A1C1的中点(1)求证：BC1平面AB1D；(2)求二面角A1AB1D的大小；(3)求点C1到平面AB1D的距离解析(1)连结A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，D为A1C1的中点，DE为A1BC1的中位线，BC1DE.又DE平面AB1D，BC1平面AB1D，BC1平面AB1D.(2)解法1：过D作DFA1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF平面ABB1
9、A1，连结EF，DE，在正A1B1C1中，B1DA1B1a，由直角三角形AA1D中，ADa，ADB1D，DEAB1，由三垂线定理的逆定理可得EFAB1.则DEF为二面角A1AB1D的平面角，又DFa，B1FEB1AA1，EFa，DEF.故所求二面角A1AB1D的大小为.解法2：(向量法)建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，a,0)，B1(0，a，a)，C1(a,0，a)，A1(0，a，a)，D(a，a，a)(0，a，a)，(a，a,0)设n(x，y，z)是平面AB1D的一个法向量，则可得所以即取y1可得n(，1，)又平面ABB1A1的一个法向量n1(a,0,0)，设n与n1的夹角是，则cos
10、.又知二面角A1AB1D是锐角，所以二面角A1AB1D的大小是.(3)解法1：设点C1到平面AB1D的距离为h，因AD2DBAB，所以ADDB1，故SADB12a2，而SC1B1DSA1B1C1a2，由VC1AB1DVAC1B1DSAB1DhSC1B1DAA1ha.解法2：由(2)知平面AB1D的一个法向量n(，1，)，(a，a，a)，da.即C1到平面AB1D的距离为a.能力拓展提升11.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为()A. B.C. D.答案B解析以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角
11、坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O，设平面ABC1D1的法向量n(x，y,1)，则n(1,0,1)，又，O到平面ABC1D1的距离d.点评1.建立坐标系可以有不同的方案，如以A为原点，直线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z建立空间直角坐标系，则O，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D1(0,1,1)，设平面ABC1D1的法向量n(x，y,1)，则n(0，1,1)，O到平面ABC1D1的距离h.2也可以不用空间向量求解取B1C1的中点M，连结B1C交BC1于O，取OC1的中点N，连结MN，则MNBC1，又在正方体ABCDA1B1C1D1
12、中，OM平行于平面ABC1D1，则O到平面ABC1D1的距离转化为M到平面ABC1D1的距离，即MN，故选B.12在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为_答案解析取AC中点E，连接BE，则BEAC，如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(，0)，D(0,0,1)，(，1)平面ABC平面AA1C1C，BEAC，BE平面AA1C1C.(，0,0)为平面AA1C1C的一个法向量，cos，设AD与平面AA1C1C所成的角为，sin|cos，|，故选A.13(2011洛阳联考)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边
13、形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点若PAAD3，CD.(1)求证：AF平面PCE；(2)求点F到平面PCE的距离；(3)求直线FC与平面PCE所成角的正弦值解析如图所示建立空间直角坐标系Axyz，A(0,0,0)，P(0,0,3)，D(0,3,0)，E(，0,0)，F(0，)，C(，3,0)(1)取PC的中点G，连接EG，则G(，)(0，)，(0，)，即AFEG.又AF平面PCE，EG平面PCE，AF平面PCE.(2)设平面PCE的法向量为n(x，y，z)，(，0,3)，(，3,0)即取y1，得n(，1,1)又(0，)，故点F到平面PCE的距离为d.(3)(，)，设FC与平面PCE所成角为，sin|cos，n|.直线FC与平面PCE所成角的正弦值为.14(2011北京西城二模)如图，已知菱形ABCD的边长为6，BAD60，ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD3，得到三棱锥BACD.(
