《灾情巡视路线的数学模型12组标准》由会员分享，可在线阅读，更多相关《灾情巡视路线的数学模型12组标准（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、最优灾情巡视路线摘要本文解决的是灾情巡视路线的最佳安排问题，我们将其转化为多个推销员回路问题，并针对灾情巡视的不同要求，用哈密顿法求出了各情况下的近似最优解。针对问题一：我们采用Kruskal法求出最小生成树，然后以最小生成树为依据将该县分为三个区域，分别对应三组巡视人员。然后利用哈密顿法求解出各组的巡视路程分别为197.6km、196.8km、206.8km，总路程为601.2km。最后用本文中自定义的均衡度来衡量分组的均衡性，路程均衡度为34%。此结果下的总路程相对较短，而均衡度偏高。如果要优先考虑均衡度，在最小生成树法求解发改进的基础上得到：194.0km、205.3km、206.8km
2、，总路程为606.1km，路程均衡度为6.2%。针对问题二：针对问题三：针对问题四：关键字 1问题重述 下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。 问题一：若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 问题二：假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度v=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡
3、视路线。 问题三：在上述关于T , t和v的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 问题四：若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和v改变对最佳巡视路线的影响。 2问题假设与符号说明2.1问题假设假设一：假设在巡视过程中不考虑天气、汽车故障等因素的影响。假设二：假设路线上的公路没有被洪水冲断，可以供巡视工作正常使用。假设三：假设在巡视过程中，经过邻县乡（镇）、村时，不做任何停留。假设四：巡视人员上下车的时间及汽车加油时间忽略不计。假设五：假设汽车在行驶途中车速不变且满足速度要求。假设五：当巡视比较偏僻的乡
4、村时，汽车从县政府出发直至到达终点，中途不会停留，仅在终点站停留T（或t）小时，然后按原路返回，到达沿途各站接回巡视人员。2.2符号说明赋权连通图；赋权连通图的第个子图子图中的最佳回路；最佳回路的各边权值之和第个乡、村到第个乡、村的距离某组从城市到城市时为1，无巡视组视为0表示各乡（镇）停留时间表示各村停留时间 3问题分析本题给出了某县的道路交通网络图，要求的是在不同条件下，求解灾情巡视的最佳分组方案和路线。这是一类图上的点的遍历性问题，也就是要用若干条闭链覆盖图上所有的顶点，并使某些指标达到最优。点的遍历性问题在图论中属于哈密顿问题，和旅行推销员问题类似。我们可以把该题抽象为图论的赋权连通问
5、题，即有一赋权无向连通图，且。两村之间的公路长度即为无向图的边权。寻找最佳巡视路线，即在图中找到一条包含O点的回路，它至少经过所有的顶点一次，且使得总路程或总时间最短。对于问题一：如果将巡视人员分成三组，每组考察全县的一个区域，使所有乡（镇）、村都考察到，实际上就是将图分为三个连通的子图，且每个子图都与O点相连，然后在每个子图中寻找到一条含O点的最佳回路。针对三组巡视成员，需对该县分为三个区域。我们采用算法通过MATLAB编程求出图的最小树形图，然后将树形图分成三个区域，最后，采用哈密顿回路法求解每个子图内的最佳巡视路线。对于问题二：在问题一的基础上，问题二增加了巡视人员在各乡（镇）、村停留时
6、间以及汽车途中行驶时间，并要求在24小时内完成巡视，求最佳分组和最佳巡视路线使各组的时间均衡性较好。通过分析可得要使巡视人员在24小时内完成巡视，则巡视人员至少分四组，然后根据最小树形图，将整个区域分成四个区域，利用最佳哈密顿回路法，求解每个子图的最佳巡视路线和最短巡视时间。最后利用定义的均衡度公式求出时间均衡度，根据求出的均衡度判断各组是否均衡，若均衡度较大，说明分组不够均衡，需要继续改进直至时间均衡度在允许的范围内。对于问题三：此问题就是要求如果有足够多的巡视人员，怎样确定最佳路线使完成巡视的时间最短。实际上，完成巡视的时间受到巡视最远乡（镇）、村路途时间和在乡（镇）、村停留时间的制约。通
7、过分析可以求出巡视镇花费的时间最长，为6.43小时。由此可知，即使巡视人员再多，分组再细，完成巡视至少需要6.43小时。于是我们制订了两种分组巡视原则：对图中偏西且距县政府较远的乡（镇）、村，巡视车开往最远巡视乡（镇）、村，并在途经乡村放下巡视员，到达最远乡镇后等待，然后按原路返回并且依次接回巡视员；对图中偏东且距县政府较近的乡（镇）、村，制定安全巡视原则，巡视车从县政府出发，巡视一圈并在途经乡村放下巡视员，车不停留继续巡视第二圈并在途中接回巡视员。然后根据分组原则，计算得出各组巡视时间。 对于问题四：要尽快完成巡视，就得要求各组完成巡视的时间尽可能相等，因为总的完成巡视的时间按最长巡视时间计
8、算。显然在分组不变的情况下，无论怎么改变，对每组的最佳巡视路线是没有影响的，但可能会影响各组间的均衡，因此此问题实际上是讨论对分组的影响，即不破坏原来分组均衡性的条件下，的最大变化范围。讨论不影响分组均衡时，定量的得出其他变量所允许的最大变化范围。最后根据得出的结论对分三组的实例进行讨论并分析结果。 4数据的分析与处理4.1均衡度处理本文定义均衡度公式为，。其中表示分组数，表示各分组的路程或时间的权值，用来衡量分组的均衡性。设定为最大允许均衡度，显然，越小，说明分组的均衡度越好。确定一个后，以下各模型的均衡度，则模型精度良好，否则继续改进。4.2最小树成法因为最小树成中能包含图中所有的顶点，而
9、且最小树的边权是相邻两顶点间的距离，它描述了顶点之间的相近程度，故可以采用最小生成树进行分组。本模型的主要思想是：首先采用算法得到图的最小生成树，然后基于最小生成树生成一个可行的巡视路线，求得路线的最优总路程为。利用下述算法可以在赋权图求出最优树。（1）选取边，使得最小；（2）设已经选取，则在中选取边使得： （）不含圈；（）尽可能小；（3）当第2步无法实施时停止。 根据算法进行编程求解（具体程序见附录1），于是我们得到图的最小生成树如图1。图1 5问题一的解答5.1模型一的准备5.1.1确立最佳分组现要分三组巡视，则需要把图分成三个子图，在每个子图中寻找最佳回路。现对已得到的最小生成树进行分解
10、，以获得三个子图并使得分解结果尽量均衡。由于在最小生成树上，边权接近可以近似认为均衡即各子图包含的顶点数应接近。因此，各个子图的顶点数应尽量接近17个，且遵循以下分解原则：()分解点为O点或尽可能地接近O点；（）分解所得的三个子图的顶点数尽可能地接近17个；（）尽量是分解所得的子图是连通图；（）尽量使子图与点O的最短路上的点在该子图内，且尽量使各子图的点在子图内部形成环路。依据以上分解原则得到的分解结果如图2。 图2然后，采用哈密顿回路法求解每个子图内的最佳巡视路线。寻找最佳巡视路线实际上就是在赋权图中寻找最优的哈密顿圈，包含图的每个顶点的圈称为哈密顿圈。于是问题就可以转化为：现已知三个子图内
11、乡、村与乡、村之间的距离，从县政府O出发，经过子图内的所有乡、村，最后又回到点O。5.2模型一的建立5.2.1确定目标函数 根据以上的分析确立了每个巡视组的巡视区域，分析出这是3个售货员寻求最佳旅行回路的问题。把县、乡、村所在地看作节点，根据路线图可以构造一个赋权网络图,其中 根据图论中的结论，最佳售货员回路问题可转化为最佳汉密尔顿回路的问题。在图的基础上构建三个子图，于是在中寻求最佳回路的问题即在中寻找最佳回路的问题，于是决策变量定义为:其线性（整数）规划模型目标函数为：。5.2.2确定约束条件目标函数给出了哈密顿圈的总长度，并使其最小。约束式保证只能到达每个城市一次，约束式保证只能离开一个
12、城市一次，约束式( 为自定义变量)是表述问题的关键，它确保：（1）由解得到的任何圈一定包含城市1（即县镇府点O）；（2）包含全部城市的圈是可行的。于是，约束条件概括为：5.3综上所述，可得问题一的模型目标函数：约束条件：5.4问题一的求解按照上述思想写出相应程序（程序见附录二）求解得到三组巡视路线图见表2：组号巡视路线路线长度总路线1197.6601.22196.83206.8模型的巡视路线图如下：5.5问题一的结果分析 从模型一的结果可的清楚的看到三种不同的巡视路线，路程均衡度为可知路程的均衡性较好，并且每一组所需要考察的乡（村）几乎相等，即每个组掌握各乡（村）情况较为均衡，符合实际生活中分
13、派任务的情况，因此，方案三是非常合理的。 6问题二的解答6.1模型二的准备此问添加了巡视组在各乡（镇）停留的时间小时，在各村停留的时间小时以及汽车的行驶速度公里小时的条件后，要求在24小时内完成巡视的最少分组数以及相应的最佳巡视路线。此时需访问的乡（镇）共有17个，村共有35个，于是可以计算出巡视人员在乡（镇）及村停留的总时间为小时。此外，从问题一的结果中可知，巡视的总路程至少为500公里，则汽车行驶所需的时间和将超过14小时。由此可知，各组巡视所需的总时间之和超过83小时，要想在24小时内完成巡视则应满足： (i为分的组数)。得i最小为4，故至少要分4组。 现在尝试将顶点分成4组。分组的原则
14、应建立在最小生成树的分解原则之上，则分组应遵循以下原则：()分解点为O点或尽可能地接近O点；（）分解所得的4个子图的顶点数尽可能地接近14个；（）尽量是分解所得的子图是连通图；（）尽量使子图与点O的最短路上的点在该子图内，且尽量使各子图的点在子图内部形成环路；（v）尽量使各组的巡视时间相接近。依据以上分解原则得到的分解结果如图4。采用上述原则将图分为4个子图，并运用哈密顿回路法找出各个组的最佳巡视路线。然后，计算出各组最佳巡视路线的总长度及汽车行驶所需时间，同时算出各组的停留时间,从而得到各组完成巡视的最佳时间。6.2模型二的建立6.2.1确定目标函数由题中所给出的问题条件，分析出这是4个售货
15、员寻求最佳旅行回路的问题。把县、乡、村所在地看作节点，根据路线图可以构造一个赋权网络图,其中 根据图论中的结论，最佳售货员回路问题可转化为最佳汉密尔顿回路的问题。在图的基础上构建4个子图，于是在中寻求最佳回路的问题即在中寻找最佳回路的问题，于是决策变量定义为:;其线性（整数）规划模型目标函数为：5.2.2确定约束条件目标函数给出了哈密顿圈的总时间长度，并使其最小。约束式保证只能到达每个城市一次，约束式保证只能离开一个城市一次，约束式( 为自定义变量)是表述问题的关键，它确保：（1）由解得到的任何圈一定包含城市1（即县镇府点O）；（2）包含全部城市的圈是可行的。于是，约束条件概括为：5.3综上所述，得问题二的模型
