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1、马到成功奥数网学员学习材料 拉灯问题 作者：马到成功老师标题是个别字，因为在上数字专题课上讲到拉灯的一类问题，学生大笑，都当成“本拉登”了，课堂气氛十分活跃，在笑声中掌握了一类题型与解题方法。现举几个例子加以说明，与计数、数论、构造与论证有关。 题目1. 2000年小学数学奥林匹克初赛试题B卷AECBFD2G35有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序号编号为1，2，3，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完之后，亮着的灯有 盏。分析与解：先考虑什么样的灯的亮着的，分两类，一类是动都没动过的，一类
2、是动过两次的。画三个集合圈的韦恩图来表示。也就是我们最终要求框内圈外部分的数据是一动不动的。D，E，F三小部分是动过两次的。你可以把图中每一小块填出来，再相加，也可以用下面的方法做。A如右图所示，拉了3次的灯(即能同时被2,3，5整除的数)有G=题目2. 六（2）班同学47名，一天上体育课时，排成一列横队，都面向老师，然后按1，2，3，4，46，47报数，老师要求学生按照如下的步骤进行操作：先让报数是3的倍数的同学向后转；再让报数是5的倍数的同学向后转。经过这两步骤以后，还有多少名同学面向老师？与上题形式一样换个说法，是一个关于两个元素的集合问题。把面向老师理解为灯亮着，背向理解为灯灭了。试试
3、看是多少，极为典型，小升初必备知识。答案：29名。473=152475=92，47（35）=32两次向后转的共15+9=24（人次），其中有3人两次都向后转了，所以面向老师的同学还有47-（24-32）=29名。.题目3. 在1997*1997的正方形棋盘上的每一格都装有一盏灯和一个按钮。按钮每按一次，与它同一行和同一列的灯泡改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮。如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮？题目分析：每按一次按钮，同行、同列的灯泡都改变一次状态，对角线上的灯泡都是既不同行、也不同列的，所以，对角线上有多少个，最少就必须要有多少次。这样，剩下的
4、关键是对角线上的个数次能否实现。题中1997*1997的正方形棋盘对角线上有1997个灯泡，1997是奇数，可以实现。解答：一方面，原来每盏灯都是不亮的，要使得灯全部变亮，每个灯泡必须被改变状态奇数次；另一方面，按钮每按一次，与它同一行和同一列的灯泡改变一次状态，对角线上的灯泡既不同行、也不同列，所以，要使得灯全部变亮，即至少改变状态一次，则至少需要1997次；同时，1997次可以实现使全部灯变亮。实现方法：依次将第一排中的1997个按钮各按一遍。题目4. 设标有A、B、C、D、E、F、G记号的7盏顺次排成一行，每盏灯安装一个开关。现在A、C、E、G4盏灯开着，其余3盏灯是关的。小刚从灯A开始
5、，顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始依次拉动开尖，即又从A到G,.他这样拉动了1999次开关后。问：哪几盏灯是开着的？答案：A、C、F开着。分析：一盏灯被拉动奇数次后，改变原来的状态，即开的变成关的，关的变成开的，而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态，即开的仍为开的关的仍为关的。因此本题 的关键是计算各盏灯被拉次数的奇偶性。由于1999=7285+4，再由灯的开关的拉法，我们知A，B，C，D4盏灯的开关各被拉支了286次，而E，F，G3盏灯的开关各被拉动了285闪。所以小刚拉动1999次开关后，A，B，C，D4盏灯不改变原来的状态，E，F，G3盏灯将改变原来的状态。由于开始时A，C
6、，E，G，4盏灯是开着的。因此最后A、C、F3盏灯是开着。题目5. 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，这样一直进行下去，问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？ 红黄蓝白白蓝蓝白红黄黄红分析与解：经观察发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时60分钟12030秒，所以此题实质是求120除以4的余数，因为1200（mod 4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。题目6. 走廊里有10盏电灯，从1到10编号，开始时电灯全部关闭。有10个学生依次通过走廊，第1个学生把所有的灯绳都
7、拉了一下，第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下，第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下。假定每拉动一次灯绳，该灯的亮与不亮就改变一次。试判定：当这10个学生通过走廊后，走廊里哪些号数的灯是亮的？答案：1，4，9号灯。提示：灯绳被拉动奇数次的灯亮着。可从最简单的情况考虑，把拉过某号的学生号码写出来寻找规律，如1号是第1个学生拉过，4是1,2，4号拉过，6是1,2，3,4号学生拉过，10是1,2，5,10号学生拉过，也就是第i号灯的灯绳被拉的次数就是i的所有约数的个数。由自然数因数分解的性质知，只有当i是平方数时，i的约数的个数才是奇数，所以只有1，4，9号
8、灯亮着。题目7. 将上题数据改成2006：走廊里有2006盏电灯，从1到2006编号，开始时电灯全部亮着。有2006个学生依次通过走廊，第1个学生把所有的灯绳都拉了一下，第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下，第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下第2006个学生把第2006号灯的灯绳拉了一下。假定每拉动一次灯绳，该灯的亮与不亮就改变一次。试判定：当这2006个学生通过走廊后，走廊里还有多少灯是亮的？解答：可把小于2006的平方数的个数找出来，44的平方=1936,45的平方=2025大于2006，所以小于2006的平方数有44个。亮着的灯有2006-44=1962盏。解题在于实践：题目8.
9、设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯A开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动了999次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？解：一盏灯的开关被拉动奇数次后，将改变原来的状态，即亮的变成熄的，熄的变成亮的；而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态。由于999=7142+5，因此，灯A，B，C，D，E各被拉动143次开关，灯F，G各被拉动142次开关。所以，当小华拉动999次后B，E，G亮，而A，C，D，F熄。题目9. 有2009盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序号编号为1，2，3，2006，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完之后，亮着的灯有 盏。本题模仿例题做一下。不提供答案。 本文作者：马到成功老师
