理论力学 第十章振动

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1、理论力学多媒体教材,第十章 振动,编 著 东北大学力学系 侯祥林 李永强,动 画 东北大学力学系 李永强 侯祥林,主 审 东北大学力学系 郭星辉 颜世英,第十章引言,10-1 单自由度系统的自由振动,第十章 振 动,10-2 计算固有频率的能量法,10-3 单自由度系统的有阻尼自由振动,10-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动,10-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动,10-7 隔 振,10-6 转子的临界转速,自由振动例题,受迫振动例题,振动是日常生活和工程中普遍存在的现象，有机械振动、电磁振荡、光的波动等不同的形式。 这里研究机械振动，如钟摆的摆动、汽车的颠簸、混凝土振动捣实以至地震等。 特点

2、：物体围绕其平衡位置而往复运动。 掌握机械振动的基本规律，可以更好地利用有益的振动而减少振动的危害。 根据具体情况，振动系统可分为： 单自由度系统； 多自由度系统； 连续体系统。 这里只研究单自由度振动。,第十章 振 动,1. 自由振动微分方程 工程中许多振动可简化为一个质量和一个弹簧的弹簧质量系统，系统在重力作用下沿铅垂方向振动的，具有一个自由度，简化为图示模型。 下面来分析其运动规律，先列出其运动微分方程。,10-1 单自由度系统的自由振动,在重力P=mg的作用下 弹簧变形为st，称为静变形，该位置为平衡位置。重力和弹簧力。,平衡时满足：,设弹簧原长为l0，刚性系数为k。,取重物的平衡位置

3、点O为坐标原点，取x轴的正向铅直向下。受力如图 。,由质点运动微分方程可列：,弹簧力F：,表明，物体偏离平衡位置于坐标x处，受到与偏离距离成正比而与偏离方向相反的合力，称此力为恢复力。 在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。 重力加在振动系统上只改变其平衡位置，只要将坐标原点取在平衡位置，可得到如上形式的运动微分方程。,两端除以质量m，并设,移项后得:,无阻尼自由振动微分方程的标准形式 是一个二阶齐次线性常系数微分方程。,方程解表示为：,两个根为：,设：,代入微分方程，消去ert 得特征方程：,C1和C2是积分常数，由运动的起始条件确定。,则解为：,设：,其运动图线为：,表明：无阻尼自由

4、振动是简谐振动。,x（t）= x（t+T） T为常数，称为周期，单位符号为s。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程,角度周期为2，则有:,则自由振动的周期为：,解为：,2.无阻尼自由振动的特点 （1）固有频率 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t，其运动规律x（t）总可以写为:,其中,称为振动的频率 表示每秒钟的振动次数，其单位符号为1/s或Hz（赫兹）。 因为n=2f 所以n表示2秒内的振动次数，称为圆频率 单位符号为rad/s（弧度/秒）。 由,可得：,自由振动的圆频率n只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关，而与运动的初始条件无关； 它是

5、振动系统的固有的特性，所以称n为固有圆频率。 固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了振动系统的动力学特性，计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。 由,上式表明：上述振动系统，知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。 如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢上下振动的频率。 满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动频率比空载车厢低。,（2）振幅与初位相 谐振振动表达式,A表示相对于振动中心点O的最大位移，称为振幅。 （nt+）称为相位（或相位角），相位决定了质点在某瞬时t的位置，它具有角度的量纲，而称为初相位，它决定了质点运动的起始位置。 自由振动中的振幅A和初相

6、位是两个待定常数，它们由运动的初始条件确定。 设在起始t=0时，物块的坐标x=x0，速度v=v0。为求A和，,将初始条件代入以上两式，得到,得到振幅A和初相位的表达式为：,自由振动的振幅和初相位都与初始条件有关。,两端对时间t求一阶导数，得物块速度,例1 质量为m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速度滑下，如图所示。当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹簧不再分离。弹簧刚度k=0.8 kN/m，倾角=30，求此系统振动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。,解：1)取质量弹簧系统 物块于弹簧的自然位置A处碰上弹簧。若物块平衡时，由于斜面的影响，弹簧应有变形量:,2）以物块平衡位

7、置O为原点，取x轴如图。,3）物块在任意位置x处受得力mg、斜面约束力FN和弹性力F作用,表明斜面角与物块运动微分方程无关。,固有频率与斜面倾角无关。,4）物块沿x轴的运动微分方程为,固有频率,此系统的通解为,5）当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点，此时物块的坐标即为初位移：,物块碰上弹簧时,初始速度为：,得振幅及初相位：,则此物块的运动方程为：,选题,解：1）此无重弹性梁相当于一弹簧，其静挠度相当于弹簧的静伸长，则梁的刚性系数为,2）重物在梁上振动时，所受的力有重力mg和弹性力F，若取其平衡位置为坐标原点，x轴方向铅直向下。,例2 如图所示无重弹性梁,当其中部放置质量为M的物块,

8、其静挠度为2mm。若将此物块在梁未变形位置处无初速释放,求系统的振动规律。,设,则上式可改写为,3）列出运动微分方程为：,上述振动微分方程的解为,其中圆频率,在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上，其坐标x0=-st=-2mm，重物初速0=0，,初相位,则振幅为,最后得系统的自由振动规律为：,选题,令,（1）弹簧并联 两个刚度分别为k1、k2的弹簧并联。设物块在重力mg作用下平动，其静变形为st，两个弹簧分别受力F1和 F2，,3. 弹簧的并联与串联,keq称为等效弹簧刚性系数,当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。,平衡时有：,并联系统的

9、固有频率为,两个弹簧总的静伸长,（2）弹簧串联 两个刚性系数分别为k1、k2弹簧串联系统。每个弹簧受的力都等于物块的重量，因此两个弹簧的静伸长分别为：,设串联弹簧系统的等效弹簧刚度为keq，则,串联弹簧系统的固有圆频率为,平衡时有：,当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度的倒数等于两个弹簧刚度倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形。,比较上面两式得：,4.其它类型的单自由度振动系统 除弹簧与质量组成的振动系统外，工程中还有很多振动系统，如扭振系统、多体系统等。,图为一扭振系统，其中圆盘对于中心轴的转动惯量为JO，刚性固结在扭杆的一端。 扭杆另一端固定，圆盘相对于固定端可扭转一个角度，扭杆的

10、扭转刚性系数为kt，它表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。,令,上式与无阻尼微分方程的标准形式相同。,根据刚体转动微分方程可建立圆盘转动的运动微分方程为：,例3 如图为一摆振系统，杆重不计，球质量为m，摆对轴O的转动惯量为J。弹簧刚度为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求此系统微小振动的运动微分方程及振动频率。,解： 1）取系统 2）受力分析,有：,以平衡位置为原点，摆在任一小角度处，弹簧压缩量为0+d。,摆在水平平衡处，弹簧已有压缩量0 。,由平衡方程：,3）摆绕轴O转动微分方程：,化为标准形式的无阻尼自由振动微分方程,以平衡点为原点，摆振系统的运动微分方程也有无阻尼自由振动微分方程的标准形式。

11、 列方程时，可由平衡位置计算弹性变形，而不再计入重力。,摆振系统的固有频率为：,返回,选题,能量法从机械能守恒定律出发计算较复杂系统的固有频率。 图示无阻尼振动系统，当系统作自由振动时，物块的运动为简谐振动。 它的运动规律可以写为：,一个振动系统，确定其固有频率非常重要。通过系统的振动微分方程可以计算系统的固有频率。 另外一种计算固有频率的方法能量法。, 10-2 计算固有频率的能量法,速度为：,在瞬时t物块的动能为,系统的势能V为弹簧势能与重力势能的和，选平衡位置为零势能点，有：,可见，对于有重力影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性力势能之和相当于由平衡位置处计算变形

12、的单独弹性力的势能。,当物块处于偏离振动中心的极端位置时，其位移最大，系统具有最大势能,当物块处于平衡位置时，其速度达到最大，物块具有最大动能,无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒。由机械能守恒定律，有：,可得到系统的固有频率：,这个原理可以求出其它类型机械振动系统的固有频率。,可列出系统的运动微分方程，可容易得到系统的固有频率,例如：图示在水平面匀速运动的均质圆柱质量为m，半径为r ，弹簧刚性系数为k，求系统微振的固有频率。,取平衡位置微系统原点，受力如图,由,实际问题中由机械能守恒，对保守系统，由：,例4 在下图所示振动系统中，摆杆AO对铰链点O的转动惯量为J，在杆的点A和B各安

13、置一个刚度分别为K1和K2的弹簧，系统在水平位置处于平衡，求系统作微振时的固有频率。,解：1）取摆杆为研究对象 2）设摆杆AO作自由振动时，其摆角的变化规律为,则系统振动时摆杆的最大角速度,3）计算最大动能和最大势能,最大动能为,最大势能等于两个弹簧最大势能的和：,4）应用机械能守恒定律：,即：,得固有频率：,选题,例5 如图一质量为m、半径为r的圆柱体，在一半径为R的圆槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。,由运动学知，当圆柱体作纯动时，其角速度为：,解： 1）取圆柱为研究对象 2）分析运动规律,设t时刻，圆柱体微振角为,设的变化规律为,3）计算系统机械能,圆柱在最

14、低处平衡，取该处圆心位置C为零势能点，系统的势能即重力势能为,系统的动能：,整理后得：,系统的最大动能,系统的最大势能,得系统的固有频率：,4）应用机械能守恒定理,返回,选题,1.阻尼 上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时间改变的，振动过程将无限地进行下去。 实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。,10-3 单自由度系统的有阻尼自由振动,阻尼类型： 1）介质阻尼 2）结构阻尼 3）库仑阻尼,当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。 这种阻尼实际上较多，这里

15、将以此研究。,振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c表示。,比例常数c称为粘性阻尼系数,负号表示方向,设振动质点的速度为为v，则粘性阻尼的阻力FC可表示为：,一般的机械振动系统都可以简化为： 由惯性元件（m） 弹性元件（k） 阻尼元件（c）组成的系统。,下面建立具有粘性阻尼系统的自由振动微分方程。 当以平衡位置O为坐标原点，建立此系统的振动微分方程时可以不再计入重力作用。,（2）粘性阻尼力Fc，方向与速度方向相反，,2.振动微分方程,振动过程中作用在物块上的力有： （1） 恢复力Fk，方向指向平衡位置O,大小为：,大小为：,物块的微分方程为：,整理得：,它是一个二阶齐次常系数线性微分方程,

16、有阻尼自由振动微分方程的标准形式,该方程通解为：,其解可设为：,特征方程：,两个特征根为：,两端除以m，并令：,当nn时，阻尼系数,特征根为共轭复数，即：,微分方程的解可以表示为：,特征根为实数或复数时，运动规律有很大不同，因此下面按nn和n=n三种不同情形分别进行讨论。,3.小阻尼情形,阻尼较小，称为小阻尼情形。,A和为两个积分常数，由运动的初始条件确定,或,其中,称有阻尼自由振动的圆频率,当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v=v0 可求得有阻尼自由振动中的振幅和相位：,这种振动的振幅是随时间不断衰减的，称为衰减振动。衰减振动的运动图线如图所示。,由衰减振动的表达式：,这种振动不符合周期振动的定义，所以不是周期振动。 但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特点。我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需的时间称为衰减振动的周期，记为Td ，如上图所示。,称为阻尼比。它是振动系统中反映阻尼特性的重要参数。在小阻尼情形下