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1、重庆一中高2011级奥赛平几讲义第七讲平几的复数证法平面几何的复数证法一基本知识复数及其定义复数的常用形式1代数形式：形如；2三角形式：形如；3指数形式：我们把称为复数的指数形式。复数的运算法则1复数的代数形式的运算法则 设，其中的，则：加减法法则：；乘法法则：；除法法则：。2复数的三角形式的运算法则 乘法法则：模相乘，辐角相加，即； 除法法则：模相除，辐角相减，即；乘方法则：（棣莫佛公式）；开方法则：复数共有个次方根，它们是。3复数的指数形式运算法则：。复数与向量1以原点为始点的向量与复数的一一对应；2复数的运算法则的几何意义。常用特殊复数及其性质1复数； 复数表示将复数对应的向量逆时针旋转
2、900所得向量对应的复数； 两个非零向量的充要条件是；2复数；是正三角形的充要条件是。二应用举例例1求证：三角形三条中线共点。证明：设的三顶点对应的复数依次为，为边上的中线的交点对应的复数。因为复数以及对应的点分别共线，故存在实数，使。消去得，故，可解得，从而。说明交点与中线的选择无关，从而得证。例2由中心对称的六边形各边向外作正三角形。求证：相邻正三角形的新顶点依次的连线的中点构成正六边形。证明：如图，以六边形的中心为原点，六个顶点对应的复数为，那么，故，故。同理可得，故是正六边形。例3求证：连接两个正三角形的三对顶点的线段的中点构成一个正三角形的顶点。证明：首先可证明是正三角形的充要条件是
3、，其中是1的三次方根，是点对应的复数：若是正三角形，则可由逆时针旋转得到，故，整理得。反之亦然。由题可得，故是正。例4已知及其所在平面上另外两点，是的三边长，求证：。证明：设依次对应复数，考虑关于复数的函数，易知，故，因此，即，从而得证。例5设是圆心在点，半径为1的圆内接正边形的顶点，点是射线上且在圆外的一点，求证：。证明：建立复平面，使分别对应复数，其中。则，其中。故。例6平面上四点，动作表示由目前所在点出发，笔直走到点，再左转900走相同距离。一人从点出发，依次作，共作2008次后又回到点。请问四点的关系如何？证明：设对应的复数为，作次动作后到达点，对应复数，则，。设，则。故，即，因此将逆
4、时针旋转900即得到。例7如图，与反向相似，与为直角顶点，。设与交于，求证：。证明：如图建立复平面直角坐标系，设，则。令交轴于，且，则，解得。同理可得与轴交点的纵坐标，从而得证。例8已知单位圆上点及内接正边形，求证：为定值；求的最小值和最大值；当为任意点时，求的最小值。解：设正边形各顶点对应的复数分别为，点对应的复数为，且，则（定值）；如图，设对应复数，且，点对应的复数为，易知，故，故当点为的中点时，取得最大值。当点与或重合时，取得最小值；不限制在圆上时，当且仅当点在圆心处时取等号。因此所求最小值为。例9设是的内切圆在上的切点，求证：共点；求与的面积之比。解：以内切圆圆心为原点建立复平面直角坐
5、标系，设所对应的复数依次为，连接，则，故，相加得，故。同理可得：。因此，从而三线共点；用面积公式可得。例10考虑在同一平面上半径为和（）的两个同心圆，设是小圆周上的一个定点，是大圆周上的一个动点，直线与大圆周相交于另外一点，过点且与垂直的直线与小圆周相交于另一点（如果与小圆相切于，则）。求的取值集合；求线段的中点的轨迹。三练习题1求证：在四边形中，（定理）。2设都是平行四边形，求证：也是平行四边形。3凸四边形对边中点连线叫凸四边形的中位线。若凸四边形的两条中位线的和等于周长之半，求证：此四边形是平行四边形。4自正五边形的中心作边心距，求证：。5边长为1000的正方形所在平面另有一点，且。将绕顺
6、时针转900，得到点，称为对向左转。点依次对向左转，共转11111次到达点，求的长。6在四边形中，由各边中点向外作垂线段，其长为该边的一半，得到四点，求证：且。7求单位圆内接凸边形所有边及所有对角线的平方和的最大值，此时凸边形有什么特点？8已知单位圆上一点及内接正边形，求证：；求证：；求证：；求的最大值。附：习题解答1如图，以为原点，设对应的复数分别为。因为，所以，从而得证。2设对应的复数依次为，由可得即。同理可得，故即。3设凸四边形各顶点对应的复数依次为，则由题可知，又因为，所以，从而是平行四边形。4将各边逆时针旋转后不变，故，从而。5如图建系，设对应复数，则，点对应复数为，则，按题意旋转后得到的点对应复数。则，故，从而。6设对应复数，则，故。同理可得，故。得证。7取圆心为原点建立复平面直角坐标系，设单位圆内接边形各顶点对应的复数为，则所求和为。当且仅当时，取得最大值，此时凸边形的重心（对应复数）在圆心处。8设正边形各顶点对应的复数分别为，点对应的复数为，且，则；因为，所以；，故最大值为2，当且仅当为的次方根时取得。9
