《传热学》第3章_非稳态热传导

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1、第3章 非稳态热传导,3-1 非稳态导热基本概念 3-2 零维问题的分析法集中参数法 3-3 典型一维非稳态导热的分析解 3-4 半无限大物体的非稳态导热 3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解,第3章 非稳态热传导,3.1 非稳态导热的基本概念,定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热 分类：物体温度随时间推移逐渐趋近于恒定的值(金属热处理) 物体温度随时间做周期性的变化(太阳辐射的地球1y和房屋1d) 差别：不同位置处的导热量处处不同 一般不能用热阻的方法定量分析 内容：1.简述非稳态导热的基本概念; 2.由简单到复杂依次介绍零维问题、一维问题、半无限大物体的 导热微分

2、方程的分析解法。 3.总结求解非稳态导热问题的一般策略以及应用实例。,表达形式：,第3章 非稳态热传导,应用：在动力机械起动、停机及变动工况运行时，急剧的温度变化会 使部件因热应力而破坏，因此需要确定物体内部的瞬时温度场； 钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中 温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素。 金属在加热炉内加热时需要确定它在加热炉内停留的时间，以 保证达到规定的温度。 掌握：与稳态导热问题 类似，学习非稳态导热 主要掌握基本概念、确 定物体瞬时温度场的方 法和在一段时间间隔内 物体所传导热量的计算 方法。,两个不同阶段： 非正规状况阶段 温度分布主要受 (不规

3、则情况阶段) 初始温度分布控制 正规状况阶段 温度分布主要取决于 (正常情况阶段) 边界条件及物性,第3章 非稳态热传导,非稳态导热问题定性分析： 左金属、右保温，初始t0，左边升高至t1， 温度变化情况。 第一阶段：P-B-L 第二阶段：P-D-L 第三阶段：P-E-L 第四阶段：P-H-M (HM斜率大于PH斜率),导热过程的三个阶段： 非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态,第3章 非稳态热传导,1板左侧导入的热流量 2板右侧导出的热流量,从图中可以看出，整个非稳态 传热过程中这两个热流量是不 相等的，但是随着过程的进行 其差别逐渐减小，直到进入稳 态阶段两者达到平衡。,阴影

4、线的部分代表了复合壁在升温过程中所积聚的能量,第3章 非稳态热传导,3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律,笛卡尔、圆柱和圆球坐标系下的导热微分方程可以统一表示为,其中，,是温度的拉普拉斯算子 ，在cp为常数的条件下，,引入扩散系数 ，于是有,导热微分方程,初始条件,边界条件,(第三类边界条件,n为换热表面外法 线，h,tf已知，tw, 未知),第3章 非稳态热传导,唯一解定律：如果某一函数满足导热微分方程以及一定的初始条件与 边界条件，那么此函数就是这一特定导热问题的唯一解。,(1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节：,a 流体与物体表面的对流换热环节 b 物体内部的导热,(2) 毕渥

5、数的定义：,3.1.3 第三边界条件下Bi数对温度分布的影响,两个热阻比值的量纲一的量,第3章 非稳态热传导,3.1.3 第三边界条件下Bi数对温度分布的影响,当 时， ，可以忽略对流换热热阻 当 时， ，可以忽略导热热阻 当 时， ，需要同时考虑两种热阻,厚度2金属板 初始温度t0 外界温度t 表面传热系数h 导热系数,第3章 非稳态热传导,无量纲数的简要介绍,对于一个特征数，应该掌握其定义式物理意义， 以及定义式中各个参数的意义。,基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了 减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组 合起来，使之能表征一类物理现象，或物理过程的主 要特征

6、，并且没有量纲。 因此，毕渥数、雷诺数这样的无量纲数又被称为特征数，或 者准则数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类 似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一般用符 号l表示。,3.2 零维问题的分析法集中参数法,定义: 固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，任何时刻 固体内部的温度都趋于一致，以致可以认为整个固体在同一 瞬间均处于同一温度下。(类比质心) 特点: 温度仅是时间的一元函数 ，而与空间坐标无关 。应用: 物体导热系数极大；几何尺寸极小；表面传热系数极低。 方法: 忽略物体内部导热热阻的简化方法集中参数法,3.2.1 集中参数法温度场的分析解,问题: 任

7、意形状固体，体积V，表面积A，均匀初始温度t0，置于tt0的 流体中，表面传热系数h及其它物性保持常数。集中参数法,导热微分方程重新写为：,忽略热阻，温度与空间无关,第3章 非稳态热传导,第3章 非稳态热传导,导热微分方程推导：,体积热源折算,零维问题的导热微分方程,零维问题的数学描述：,引入过余温度 , 则有,初始条件,导热微分方程,零维问题完整数学描述,导热微分方程变为,第3章 非稳态热传导,从0到积分 ,过余温度比,其中的指数：,导热微分方程求解：,方程分析解变为：,物体中的温度呈指数分布,第3章 非稳态热传导,3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅里叶数,1. 导热量计算式,导热量：从

8、初始时刻到某一瞬间为止的时间间隔内，物体与流体间所 交换的热量。,问题求解: 由瞬时热流量对时间做积分,瞬时热流量,0-时间内的总热量为：,2. 时间常数,导热量,过余温度随时间呈指数曲线关系，即：开始温度变化快，后来变化较慢,第3章 非稳态热传导,称为时间常数，记为,当传热时间 时，物体的过余温度达到初始过余温度的36.8。,时间常数表示零维问题中物体在流体中 温度变化响应快慢的指标。主要取决于 其自身的热容量 及表面换热条件,3. 毕渥数及傅里叶数的物理意义,无量纲热阻,无量纲时间,毕渥数,傅里叶数,毕渥数 越小，利用集中参数法分析结果越接近实际情况 傅里叶数 是表征非稳态过程进行深度的无

9、量纲时间，Fo越大， 热扰动就能越深入地传播到物体内部。,那么 最大最小 过余温度之差小于5%。,3.2.3 集中参数法的适用范围及应用举例,第3章 非稳态热传导,毕渥数越小，越适合应用集中参数法，小到什么程度？,如果特征长度,如果特征长度,当传热系数计算精度要求20%25%以内时，选择,第3章 非稳态热传导,例题3-1 一直径为5cm的钢球,初始温度为450,突然被置于温度为30 的空气中。设钢球表面与周围环境间的表面传热系数为24W/(m2K)， 试计算钢球冷却到300 所需要的时间。已知钢球的c=0.48kJ/(KgK), =7753Kg/m3,=33W/(mK)。,假设：(1) 钢球冷

10、却过程中与空气及四周冷表面发生对流和辐射传热， 随着表面温度的降低辐射换热量减少。这里取一个平均值，表面传热 系数按常熟处理；(2) 常物性。,计算：首先检验是否可用集中参数法，为此计算Bi数,可以选用集中参数法,第3章 非稳态热传导,根据公式3-9有,由此解得,第3章 非稳态热传导,3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解,内容：介绍平板、圆柱与球的一维非稳态导热温度场的分析解。 重点：分析解的应用，了解求解过程，掌握公式中各部分表示的含义,3.3.1 三种几何形状物体的温度场分析解,1. 平板,厚度为2的无限大平板， 初始温度为t0,外部温度为t, 平板关于中心截面对称,因此 只研究x0的半

11、块平板,导热微分方程,半块平板的数学描写：,(对称性),初始条件,边界条件,非稳态平板问题求解：,引入变量过余温度,令,第3章 非稳态热传导,第3章 非稳态热传导,采用分离变量法得到分析解如下所示,其中， ，系数 应该使上述无穷级数在 时满足 初始条件，由傅里叶级数理论可得：,是下列超越方程的根，称为特征值,其中，,第3章 非稳态热传导,2. 圆柱,其中， ，系数 应该使上述无穷级数在 时满足 初始条件，由傅里叶级数理论可得：,是下列超越方程的根，称为特征值,其中，,分析解为：,第3章 非稳态热传导,3. 圆球,其中， ，系数 应该使上述无穷级数在 时满足 初始条件，由傅里叶级数理论可得：,是

12、下列超越方程的根，称为特征值,其中，,分析解为：,总结：平板、圆柱和圆球中的无量纲过余温度与傅里叶数、 毕渥数及无量纲距离有关，即：,第3章 非稳态热传导,3.3.2 非稳态导热正规状况阶段分析解的简化,1. 正规状况阶段的物理概念与数学含义,非稳态导热过程,非正规状况阶段与初始条件有关,正规状况阶段与边界条件有关,正规状况阶段的数学含义：,三个解的特征值都是Bi数的函数，在一定的Bi数下n随着n的 增加而迅速增加，完整表达非正规状况阶段和正规状况阶段。 非稳态导热微分方程是一个傅里叶级数，n2之后的各项是为 了满足初始条件而引进的。 而当仅取n=1时，且F0数大于0.2时，计算结果与完整级数

13、计算 结果的偏差小于1%。,第3章 非稳态热传导,2. 正规状况阶段三个分析解的简化表达式(温度场分布),平板,圆柱,圆球,举例：,以平板的解式为例，正规状况阶段任意时刻下，平板中任意 处与平板中心处的过余温度之比为：,结果与时间无关，也就是与非正规状况阶段无关，仅取决于 特征值，也就是取决于边界条件，,第3章 非稳态热传导,考察热量的传递：,Q0 -非稳态导热过程所能传递的最大热量(从初始阶段到热平衡),3. 一段时间间隔内所传导的热量计算式,若令Q为 内所传递热量，那么与最大热量之比为,对于平板、圆柱和圆球而言,当F00.2后,正规状况阶段的热量比为：,平板,圆柱,圆球,第3章 非稳态热传

14、导,总结分析解(温度分布)及其导热量计算式，可以将它们统一表示为：,1,1,第3章 非稳态热传导,3.3.3 非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法,分析解主要用于科学计算，对内在特性及影响进行分析(理解) 工程计算方法直接用于计算出所需要的值(掌握),方法,图线法(海斯勒提出的诺谟图),近似拟合公式法(campo),1. 图线法,三个变量，因此，需要分开绘制,以无限大平板为例，F00.2 时，取其级数第一项可得,第一步：根据公式(3-25)，得到,图3-7,第3章 非稳态热传导,第二步：根据公式(3-28)，得到,无傅里叶数F0,第三步：平板中任一点的温度为,同理，非稳态换热过程中的交换热量可

15、以利用(3-31)(3-33)绘制。,解的应用范围： 书中的诺谟图及下面的拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且F00.2,图3-8,图3-9,第3章 非稳态热传导,2. 近似拟合公式法,对三种几何形状的第一特征值1，以及公式(3-34)、(3-35)中的 A、B和贝塞尔函数提出了以下拟合公式,左边公式中的常数 见书中表3-2和表3-3中,在表3-1中的第一类一阶贝塞尔函数J1(x)可根据递推公式J1(x)= -J0(x) 这里J0(x)表示J0(x)对x的一阶导数,优缺点：,图线法简洁方便，但是受到分辨率的限制，影响计算精度,近似拟合公式法便于计算机求解，可以免去迭代，计算量较大,3.3.4 分析解应用范围的推广及傅里叶数和毕渥数对温度场的影响,第3章 非稳态热传导,应用范围： 物体的被加热或者冷却都是用于该分析解； 对于一维平板，还可应用于(1) 平板一侧绝热，另一侧为第三类边界条件；(2) 平板两侧均为第一类边界条件且维持相同温度。,傅里叶数和毕渥数对温度场的影响：,傅里叶数的影响： 傅里叶数F0与时间呈正比，物体中各点的过余温度随时间增 加而减少，因此各点的过余温度随傅里叶数F0增加而减少,毕渥数的影响： 介质温度恒定的第