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1、7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试说明1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.考情分析考点考查方向考查热度二元一次不等式组表示的平面区域平面区域的面积目标函数的最值目标函数的最值、求参问题课前双基巩固1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax+By+C0直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域不包括_Ax+By+C0包括_不等式组各个不等式所表示的平面区域的2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x,y组成的_线
2、性约束条件由关于x,y的_不等式组成的不等式组目标函数关于x,y的函数_如z=2x+3y等线性目标函数关于x,y的_解析式可行解满足线性约束条件的_可行域由所有可行解组成的_最优解使目标函数取得_或_的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_或_的问题3.利用线性规划求最值,用图解法求解的步骤(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)作出目标函数的等值线.(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定最优解.题组一常识题1. 不等式组x-y-20,x+y+30,-3x0表示的平面区域的面积为.2. 若变量x,y满足约束条件x+2y8,0x4,0y3,则z=2x+y的最
3、大值等于.3. 某蔬菜收购点租用车辆将100 t新鲜辣椒运往某市销售,可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆,若每辆卡车载重8 t,运费960元,每辆农用车载重2.5 t,运费360元,据此安排两种车型使运费最少.设租用大卡车x辆,农用车y辆,则应满足的不等关系为.题组二常错题索引:不明确目标函数的最值与等值线的截距间关系;不清楚目标函数的几何意义;对最优解有无数个理解不透.4.已知变量x,y满足约束条件x+y1,x0,y0,则z=x-y的最大值为.5.若变量x,y满足x-y+50,x+y0,x3,则z=x2+y2的最大值是.6.已知变量x,y满足y0,y-x+10,y-2x+40,若z=
4、y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则a的值为.课堂考点探究探究点一二元一次不等式(组)表示的平面区域考向1平面区域的面积问题1 (1)在平面直角坐标系中,不等式组3x-2y0,3x-y-30,y0表示的平面区域的面积是()A.1 B.32 C.2 D.52(2)设不等式组x+y-30,x-2y-30,x1表示的平面区域为1,直线y=k(x-3)分平面区域1为面积相等的两部分,则k=.总结反思 求解平面区域的面积问题的基本步骤:(1)画出不等式组表示的平面区域;(2)判断平面区域的形状,也可将平面区域划分为几个三角形;(3)求解面积.考向2平面区域的形状问题2 不等式组2x-y+2
5、0,x+y-20,y0表示的平面区域的形状为()A.三角形 B.平行四边形C.梯形 D.正方形总结反思 平面区域的形状问题主要有两种题型:(1)确定平面区域的形状,求解时先画满足条件的平面区域,然后判断其形状;(2)根据平面区域的形状求解参数问题,求解时通常先画满足条件的平面区域,但要注意对参数进行必要的讨论.强化演练1.【考向2】不等式组x+y-20,x4,y5表示的平面区域的形状为()A.等边三角形 B.梯形C.等腰直角三角形 D.正方形2. 【考向1】在平面直角坐标系中,不等式组x0,x+y2,xy所表示的平面区域的面积为()A.1 B.2 C.4 D.83.【考向1】 在区域=(x,y
6、)|x0,x+y1,x-y1中,若满足ax+y0的区域面积占面积的13,则实数a的值是()A.23 B.12 C.-12 D.-234.【考向2】若关于x,y的不等式组x0,x+y0,kx-y+10表示的平面区域的形状是等腰直角三角形,则k=.探究点二求目标函数的最值考向1求线性目标函数的最值3 (1) 已知变量x,y满足约束条件-2x+y4,4x+3y12,y1,则z=2x+y的最小值为()A.-12 B.1 C.-2 D.112(2) 已知变量x,y满足约束条件y3x-3,2yx+4,3x+4y+120,则z=2x-y的最大值为()A.2 B.3 C.4D.5总结反思 求目标函数z=ax+
7、by的最大值或最小值,先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.考向2求非线性目标函数的最值4 (1) 若x,y满足不等式组x2,x+y6,x-2y0,则z=x2+y2的最小值是()A.2 B.5 C.4 D.5(2)若变量x,y满足约束条件x-2y-40,x+y-10,2x-y-20,则z=y+1x+1的取值范围是()A.0,2 B.0,2C.-1,12 D.0,+总结反思 目标函数是非线性形式的函数时,常考虑目标函数的几何意义,常见代数式的几何意义主要有:(1)x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离,(x-a)2+(y-b)2表示点(x,y)与点(a,b)间的
8、距离;(2)yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y-bx-a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.考向3求线性规划中的参数5 (1) 已知变量x, y满足x+y1,mx-y0,2x-y+20,若z=3x-y的最大值为1,则m的值为()A.83 B.2 C.1 D.23(2) 关于x,y的不等式组x+y-30,x-2y+30,x-20表示的平面区域为D,若区域D内存在满足t3x-y的点,则实数t的取值范围为()A.-,1 B.1,+ C.-,5 D.5,+总结反思 (1)线性规划问题中的参数可以出现在约束条件或目标函数中;(2)一般地,目标函数只在可行域的顶点或边界处取得最值.强
9、化演练1.【考向1】若x,y满足2x+y-20,x+y-30,x,yN*,则y-2x的最大值为()A.3 B.2 C.0 D.-22.【考向1】若变量x,y满足x-y+10,x+y0,x0,则z=2x+y的最小值为()A.-12 B.0 C.1D.323.【考向2】 若x, y满足约束条件2x-y0,x+2y-20,y-10,则z=yx的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.44.【考向3】 变量x,y满足|x+1|y-12x+1时,目标函数z=mx+y的最大值等于5,则实数m的值为()A.-1 B.-12 C.2D.55.【考向3】已知变量x,y满足x0,y1,2x-2y+10,若目标函数
10、 z=ax+y(a0)取得最小值时的最优解有无数个,则实数a的值为.6.【考向3】若x,y满足y1,yx-1,x+ym,且z=x2+y2的最大值为10,则m=.探究点三线性规划的实际应用6 咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料分别用奶粉9 g、咖啡4 g、糖3 g.乙种饮料分别用奶粉4 g、咖啡5 g、糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g、咖啡2000 g、糖3000 g.如果甲种饮料每杯能获利0.7元,乙种饮料每杯能获利1.2元.每天在原料的使用限额内饮料能全部售出,每天配制甲种饮料杯、乙种饮料杯能获利最大.总结反思 解线性规划应用题的一般步骤:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出约
11、束条件和目标函数;(3)作出平面区域;(4)判断最优解;(5)根据实际问题作答.式题 某高新技术公司要生产一批新研发的A款产品和B款产品,生产一台A款产品需要甲材料3 kg,乙材料1 kg,并且需要花费1天时间,生产一台B款产品需要甲材料1 kg,乙材料3 kg,也需要1天时间,已知生产一台A款产品的利润是1000元,生产一台B款产品的利润是2000元,公司目前有甲、乙材料各300 kg,则在不超过120天的情况下,公司生产两款产品的最大利润是元.参考答案7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【课前双基巩固】知识聚焦1.边界边界公共部分2.不等式(组)一次解析式一次解集合最大值最小值最
12、大值最小值对点演练1.254解析 不等式组表示的平面区域如图所示.由x=-3,x+y+3=0,得A(-3,0);由x=-3,x-y-2=0,得B(-3,-5);由x-y-2=0,x+y+3=0,得C-12,-52.AB边与y轴平行,|AB|=|-5-0|=5,点C到边AB的距离d=-12-(-3)=52,SABC=12552=254.2.10解析 画出可行域如图,由图可知,平移直线2x+y=0经过A(4,2)时,目标函数z=2x+y取得最大值,最大值为10.3.8x+2.5y100,0x10,0y20,xZ,yZ4.1解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线x-y=0,平移直
13、线经过点A(1,0)时,目标函数z=x-y取得最大值,最大值为1.5.73解析 根据约束条件画出可行域,令u=x2+y2,它表示可行域内的点到原点的距离.由图可知,可行域内的点P到原点的距离最大,由x=3,x-y+5=0,可得P(3,8),所以|OP|=73,所以umax=73,所以z=u2的最大值为73.6.1解析 画出可行域如图所示,由z=y-ax得y=ax+z,当z取最大值时,直线在y轴上的截距最大.当a0时,最优解只有一个,不满足题意;当a0时,要使最优解有无数个,则有直线y=ax+z与直线AC重合,所以a=1.【课堂考点探究】例1(1)B(2)-14思路点拨 首先画出不等式组表示的平面区域,然后根据平面区域的形状求解面积.解析 (1)作出不等式组3x-2y0,3x-y-30,y0所表示的平面区域如图所示,易得B点坐标为(1,0).联立3x-2y=0,3x-y-3=0,得A(2,3),则SOAB=1213=32,故选B. (2)作出可行域如图所示:直线y=k(x-3)恒过定点(3,0),要使直线y=k(x-3)分平面区域
