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1、7.3基本不等式及应用一、复习目标1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.二、课时安排1课时三、复习重难点1.基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.四、教学过程（一）知识梳理1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(3)(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(4)2(a，b同号)，当且仅
2、当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大).（二）题型、方法归纳1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法
3、、换元法、整体代换法等.（三）典例精讲考点一配凑法求最值【例1】 (1)已知x，求f(x)4x2的最大值；(2)已知x为正实数且x21，求x的最大值；(3)求函数y的最大值.解(1)因为x，所以54x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时，等号成立.故f(x)4x2的最大值为1.(2)因为x0，所以x，又x2，所以x ，即(x)max.(3)令t0，则xt21，所以y.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y，因为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值).规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三
4、相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】 (1)设0x，则函数y4x(52x)的最大值为_.(2)设x1，则函数y的最小值为_.解析(1)因为0x，所以52x0，所以y4x(52x)22x(52x)2，当且仅当2x52x，即x时等号成立，故函数y4x(52x)的最大值为.(2)因为x1，所以x10，所以yx15259，当且仅当x1，即x1时等号成立，故函数y的最小值为9.答案(1)(2)9考点二常数代换或消
5、元法求最值【例2】 (1)已知x0，y0且xy1，则的最小值为_.(2)(2016南昌模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.解析(1)(常数代换法)因为x0，y0，且xy1，所以(xy)1010218，当且仅当，即x2y时等号成立，所以当x，y时，有最小值18.(2)由已知得x.法一(消元法)因为x0，y0，所以0y3，所以x3y3y3(y1)6266，当且仅当3(y1)，即y1，x3时，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y)xyx(3y)，当且仅当x3y时等号成立.设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y
6、)min6.答案(1)18(2)6规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.【训练2】 (1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A. B. C.5 D.6(2)(2016浙江十校联考)若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C.2 D.(3)设x，y为实数. 若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_.解析(1)法一由x3
7、y5xy可得1，3x4y(3x4y)5(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.法二由x3y5xy得x，x0，y0，y，3x4y4y425，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.(3)依题意有(2xy)213xy12xy1，得(2xy)21，即|2xy|，当且仅当2xy时，2xy达到最大值.答案(1)C(2)C(3)考点三基本不等式在实际问题中的应用【例3】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测
8、量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时.解析(1)当l6.05时，F，F1 900，当且仅当v，即v11时取“”.最大车流量F为1 900辆/时.(2)当l5时，F，F2 000，当且仅当v，即v10时取“”.最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 0001 900100辆/时.答案(1)1 900(2)100规律方法对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确
9、挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.【训练3】 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A.80元 B.120元 C.160元 D.240元解析设底面矩形的长和宽分别为a m，b m，则ab4(m2).容器的总造价为20ab2(ab)108020(ab)8040160(元)(当且仅当ab时等号成立).故选C.答案C（四）归纳小结1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大
10、小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.（五）随堂检测1.(2016年高考上海卷理)设若关于的方程组无解，则的取值范围是_.【答案】2.若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a2b22ab B.ab2C. D.2解析a2b22ab(ab)20，A错误；对于B，C，当a0，b0时，明显错误.对于D，ab0，22.答案D3.若直线1(a0，b0)过
11、点(1，1)，则ab的最小值等于()A.2 B.3 C.4 D.5解析因为直线1(a0，b0)过点(1，1)，所以1.所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时取“”，故选C.答案C4.(2015湖南卷)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B.2 C.2 D.4解析依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立.因为，所以，即ab2，所以ab的最小值为2，故选C.答案C5.(人教A必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大.解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x2y30，所以Sxyx(2y)，当且仅当x2y，即x15，y时取等号.答案15五、板书设计1.基本不等式：2.几个重要的不等式.3.利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大).六、作业布置课时作业第七章第三节以及预习第八章第一节七、教学反思1.“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误.2.有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致.
