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1、0上海应用技术学院数学实验报告题目： 曲柄滑块机构的运动规律 姓名： 周 玲 院系： 理学院数学与应用数学系 学号： 1112211115 指导老师： 许建强 2015 年 3 月 30 日1目录一、 实验目的 .3二、 实际问题 .3三、 数学模型 .3四、 数值积分方法 .2五、 实验任务 .4任务一 .4任务二 .5任务三 .7任务四 .72一、 实验目的本实验主要涉及微积分中对函数特性的研究。通过实验复习函数求导法, Taylor 公式和其他有关知识。着重介绍运用建立近视似模型并进行数值计算来研究讨论函数的方法。二、 实际问题曲柄滑块机构是一种常用的机械结构,它将曲柄的转动转化为滑块在
2、直线上的往复运动,是气压机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。右图为其示意图。记曲柄 的长为 ,连杆 的长为 , 当曲柄绕固定点 以角速度 旋转OQrPlOw时, 由连杆带动滑块 在水平槽内做往复直线运动。假设初始时刻曲柄的端点位于水平线段 上, 曲柄从初始位置起转动的角度为 ,而连杆 与 的QP锐夹角为 (称为摆角) 。在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律, 确切的说 ,要研究滑块的位移,速度和加速度关于 的函数关系,摆角 及其角速度和角加速度关于 的函数关系, 进而（1）求出滑块的行程 (即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离);s（2）求出滑块的最大和最小加速度(绝对值), 以
3、了解滑块在水平方向上的作用力;（3）求出 的最大和最小角加速度(绝对值), 以了解连杆的转动惯量对滑块的影响;在求解上述问题时,我们假定: 10(),30(),240(/min)rmlr转符号说明: 曲柄 OQ 的长; 连杆 PQ 的长度; 摆角(连杆 PQ 与 OP 的锐l 夹角); 角速度; 滑块; 滑块的位移 ; 滑块的加速度。Pxa三、 数学模型取 O 点为坐标原点，OP 方向为 x 轴正方向，P 在 x 轴上的坐标为 x，那么可用x 表示滑块的位移。利用三角关系，立即得到（1.1）22sincosrlr由于 ，故有 t（1.2）dxtdtx而 1（1.3）22sincosinrlrd
4、x于是滑块的速度 （1.4）22si1sirlrv进而，可以得到滑块的加速度为（1.5）23242 )sin(cosrlrdta同样，基于关系式 （1.6）i我们有摆角的表达式 （1.7）sinarcl式（1.6）对 t 求导， ooscosdttdl 可得 （1.8）cslrt由此再得 （1.9）22cosinsindtlrdt利用（1.6） ，不难由上两式导出 （1.10）22sinrldt和 （1.11）2322)si(rllt至此，我们得到了滑块位移 和连杆摆角 运动规律中有关变量依赖 的x 表达式。四、 数值积分方法将位移的表达式（1.1）改写为2212)sin1(coslrrx一般
5、而言， 是远比 1 小的数，于是利用2lr（1.12）1,)( 得到滑块位移的近似模型为（1.13）21sincoslrrx从而有相应的近似速度（1.14）)2sin(i )si(i211 lrrldttxv和近似加速度（1.15）)2cos(21 lrdtva这里的速度 和加速度 是直接对近似位移模型 求导得来的，而不是对 和1v1 1xv的精确表达式（1.4）和（1.5）的近似。当然我们也可以直接从滑块速度的a解析式（1.4）进行近似。仍利用公式（1.12）有 221222 sinsinsinlrllrrl把上式代入（1.4） ，就得到滑块速度的近似模型（1.16）3222 4)sin(2
6、)sin(i1coi lrlrllv 从（1.16）出发，又可得近似加速度（1.17）3232 )cos(i)(si)cos(lrlra对摆角 可以利用幂级数展开的 Maclaurin 公式（1.18）1,6arcsin3得到摆角的近似模型。粗略一些，可以取（1.19）si1lr（当 较小时可用此式） 。而必要时可以取lr3（1.20）32sin6silrl相应的近似角速度为（1.21）co1ldt或（1.22）sin2s32lrlt近似角加速度为（1.23）si221lrdt或（1.24） )cos(2sin(isin322 lrldt五、 实验任务任务一试用摆角的角加速度的三种表达式, 即
7、式（1.11） 、 （1.23）和（1.24） ，取步长为 ， ， ， 的值如前，计算当 变化时角加速度的值,并列表12rl0加以比较。实验程序：function m1_2(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;a0=-r*w2*sin(t)*(l2-r2)./(l2-r2*sin(t).2).(3/2)a1=-w2*r*sin(t)/la2=-w2*(r*sin(t)/l+r3*(sin(t).3-sin(2*t).*cos(t)/(2*l3) m1_1(0:pi/12:pi)运行结果如下：t/rad a0/(rad/s2) a1/(rad/s2) a2/(rad/s2)0
8、 0 0 0pi/12 -48.9857 -54.4948 -48.04822*pi/12 -97.6175 -105.2758 -97.9653pi/12 -144.1871 -148.8824 -144.74684pi/12 -184.6798 -182.343 -184.875545pi/12 -213.0328 -203.3772 -212.4053pi/2 -223.3237 -210.5516 -222.24897pi/12 -213.0328 -203.3772 -212.40538pi/12 -184.6798 -182.343 -184.87559pi/12 -144.187
9、1 -148.8824 -144.746810pi/12 -97.6175 -105.2758 -97.96511pi/12 -48.9857 -54.4948 -49.0482pi 0 0 0从结果中可以看出误差的大小,取决于近似表达式的精度,在利用泰勒公式求近似模型时,如果展开的精度越高,则误差就越小,在数据表中也可以看出, dt2取得精度比 高,所以结果与真实值相差的更小。dt12任务二利用（1.12）式，对角摆角的角速度（1.10）式和角速度（1.11）式进行简化，将结果与（1.21）(1.24)式进行比较，并与上题的计算结果相比较。解析： 由式 1,1)( （1.12）(1.10)2
10、2sincorldt可以化简为 si)(43lt )10.(1.11)2322)sin(rldt可以化简为32322 ii)llrt )1.(将化简结果与（1.21）(1.24)式进行比较，可以发现有类似的项。实验程序：function m2_1(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;b0=r*w*cos(t)./sqrt(l2-r2*sin(t).2)b1=w*r*cos(t)/lb2=w*(r*cos(t)/l+r3*sin(t).2.*cos(t)/(2*l3)b3=r*w/l*(cos(t)+r2*sin(2*t).*sin(t)/(4*l2)5a0=-r*w2*si
11、n(t)*(l2-r2)./(l2-r2*sin(t).2).(3/2)a1=-w2*r*sin(t)/la2=-w2*(r*sin(t)/l+r3*(sin(t).3-sin(2*t).*cos(t)/(2*l3)a3=-r*w2*(l2-r2)/l3*(sin(t)+3*r2*sin(t).3/(2*l2) m2_1(0:pi/12:pi)运行结果如下：角速度：t/rad b/(rad/s) b1/(rad/s) b2/(rad/s) b3/(rad/s)0 8.3776 8.3776 8.3776 8.3776 pi/12 8.1224 8.0921 8.1222 8.12222*pi/12 7.3581 7.2552 7.3560 7.35603pi/12 6.0956 5.9238 6.0884 6.08844pi/12 4.3750 4.1888 4.3633 4.36335pi/12 2.2902 2.1683 2.2807 2.2807pi/2 0.0000 0.0000 0.0000 0.00007pi/12 -2.2902 -2.1683 -2.2807 -2.28078pi/12 -4.3750 -4.1888 -4.3633 -4
