辅助角公式在解物理极值问题中的应用

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1、辅助角公式在解物理极值问题中的应用辅助角公式对于acosx+bsinx型函数，我们可以如此变形acosx+bsinx=Sqrt(a2+b2)(acosx/Sqrt(a2+b2)+bsinx/Sqrt(a2+b2)，令点(b,a)为某一角终边上的点，则sin=a/Sqrt(a2+b2),cos=b/Sqrt(a2+b2)acosxbsinxSqrt(a2+b2)sin(x+arctan(a/b)这就是辅助角公式 设要证明的公式为asinA+bcosA=(a2+b2)sin(A+M) (tanM=b/a) 以下是证明过程： 设asinA+bcosA=xsin(A+M) asinA+bcosA=x(

2、a/x)sinA+(b/x)cosA) 由题，（a/x)2+(b/x)2=1,sinM=a/x,cosM=b/x x=(a2+b2) asinA+bcosA=(a2+b2)sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a辅助角公式 asin+ bcos= sin(a+)，其中tan=b/a，其终边过点（a, b），asin +bcos= cos(a-)，其中tan=a/b，其终边过点（b,a）例4一物体质量为m，置于倾角为的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。解析：设拉力与斜面的夹角为，物体的受力分析，如图5所示。mgFNF图5f由物体的平

3、衡条件可得：Fcos f = 0 FNmgcos= 0 又因f=FN 由式得：即：由数学知识，上式中分子值一定，当分母cos+sin最大时，分数值F最小。由辅助角公式，cos+sin=sin（+），其中tan=1/，当sin（+）=1时，cos+sin最大，此时+=90，cos+sin的最大值是，（即cos+sin满足）)拉力的最小值：NFfmg图3例题4、物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？该题的已知量只有和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不

4、同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。解：设拉力F与水平方向的夹角为，根据题意可列平衡方程式， 即由联立解得：,其中, FFGFFFF图4说明1：的最大值为。说明2：对于例题4，我们也可用矢量知识求解：将摩擦力f和地面对木块的弹力N合成一个力F，如图，F与竖直方向的夹角为（为一定值）。这样木块可认为受到三个力:重力G,桌面对木块的作用力F和拉力F的作用。尽管F大小方向均未确定，F方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如右图所示。只用当F与F垂直时，即拉力与水平方向成角时，拉力F最小为，而，故在倾角为的斜面上,水平放置一段通有电流强度为I,长为L,质量为m的导体棒a,(通电方向垂直纸面向里),如图所示,棒与斜面间动摩擦因数为(tan ).欲使导体棒静止在斜面上,可加匀强磁场,磁感应强度B最小值是多少?磁感应强度B的方向如何？解析设当安培力与斜面成角时B最小,则由平衡条件得： N=mgcosBILsinmgsinNBILcos当=90时, sin（）最大，B 最小