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求证：n=01(2n+1)2=1+132+152+172+=28设fx=1sin2x，由于sinx=2sinx2cosx2，因此：fx=1sin2x=14sin2x2cos2x2=sin2x2+cos2x24sin2x2cos2x2=141sin2x2+1sin2x+2=14f(x2)+f(x+2)以此类推：fx=14f(x2)+f(x+2)=116f(x4)+f(x+24)+f(x+4)+f(x+34)=14ni=02n-1f(x+i2n)=14ni=02n-1f(x+i2n)=24ni=02n-1-1f(x+i2n)令x=2，得到恒等式：i=02n-1-1f(1+2i2n+1)=4n2由于当x0,2时，有sinxxtanx，因此有sin2xx2tan2x，两边取倒数，即：fx-11x2fx在不等式中，令x=1+2i2n+10,2并对i从0到2n-1-1求和，得到：i=02n-1-1f(1+2i2n+1)-2n-1+1i=02n-1-11(1+2i2n+1)2i=02n-1-1f(1+2i2n+1)即：4n2-2n-1+14n+12i=02n-11(2i+1)24n2两边同时除以4n:12-2n-14n42i=02n-11(2i+1)212令n趋近于无穷，左式和右式极限都为12，因此得到：28=i=01(2i+1)2
