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1、高等数学 A2课程教学大纲课程代码：090011002课程英文名称：Higher mathematics（A2）课程总学时：80 讲课：80 实验：0 上机：0适用专业：理学院大纲编写（修订）时间：2010.7一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标本课程是一门重要公共基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得本课程的基本内容和基本的数学思想方法，培养学生的抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力，是进一步学好其它理工学科课程的重要基础。本课程的研究对象是函数（变化过程中量的依赖关系）。内容包括向量代数与空间解析几何学，多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数与常微分方程等。（二）知识、能力及技
2、能方面的基本要求通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。（三）实施说明1、本大纲适用于学习公共基础课高等数学科目的理学院专业的本科生。 2、因教学学时所限，课堂教学要做到突出重点，精讲难点，有针对性地解决理论与实际应用中可能遇到的基本数学问题。教师在授课中可酌情安排各部分的学时，课时分配表仅供参考。3、注意知识的内在联系与融合贯通，注意采用课堂讲授、讨
3、论、多媒体教学相结合的教学方式，启发学生自学并不断积累学科前沿最新知识，学会独立思考，独立提出问题与独立解决问题的能力。4、对于与其它课程交叉部分的内容，要分工明确，突出本课程在课程设置中的地位、作用与特色。（四）对先修课的要求高等数学（上册）（五）对习题课、实践环节的要求习题的选取应体现本课程的基本概念、基本原理，并应结合实际的应用，使学生理解和消化所学的知识，考察并提高掌握知识的质量与解决问题的能力。（六）课程考核方式1.考核方式：考试2.考核目标：在考核学生基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生用高等数学的解题思想去解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。3.成绩构成：本课程
4、的总成绩主要由两部分组成：期中考试成绩占 20%，期末考试成绩占80%，均为闭卷考试。（七）参考书目1 高等数学下册（第五版） ，同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，20022 高等数学下册（第六版） ，同济大学数学系主编，高等教育出版社，2007二、中文摘要高等数学是高等学校数学专业的一门必修的公共基础课程。通过学习本课程，可以使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，使学生获得本课程的基本内容和基本的数学思想方法，培养学生的抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力，熟悉和掌握抽象的、严格的数学方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系。三、课程学时分配表序号 教学
5、内容 学时 讲课 实验 上机7 空间解析几何与向量代数 14 147.1 向量及其线性运算 27.2 数量积 向量积 27.3 曲面及其方程 27.4 空间曲线及其方程 27.5 平面及其方程 27.6 空间直线及其方程 27.7 习题 28 多元函数微分法及其应用 16 168.1 多元函数的基本概念 28.2 偏导数 全微分 28.3 多元复合函数的求导法则 28.4 隐函数的求导公式 习题 28.5 多元函数微分学的几何应用 方向导数与梯度28.6 多元函数的极值及其求法 28.7 习题 28.8 单元测试 29 重积分 12 129.1 二重积分的概念和性质 利用直角坐标计算二重积分2
6、9.2 利用极坐标计算二重积分 习题 29.3 三重积分的概念及利用直角坐标计算三重积分29.4 利用柱坐标和球坐标计算三重积分 29.5 重积分的应用 29.6 习题 210 曲线积分与曲面积分 16 1610.1 对弧长的曲线积分 210.2 对坐标的曲线积分 210.3 格林公式及其应用 210.4 对面积的曲面积分 习题 410.5 对坐标的曲面积分 210.6 高斯公式 210.7 习题 单元测试 211 无穷级数 10 1011.1 常数项级数的概念和性质 211.2 正项级数及其审敛法(定理 1定理 6) 211.3 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛211.4 幂级数 函数
7、展开成幂级数 211.5 习题 单元测试 212 常微分方程 12 1212.1 微分方程的基本概念 可分离变量的微分方程212.2 齐次方程 212.3 一阶线性微分方程 212.4 二阶常系数齐次线性微分方程 212.5 二阶常系数非齐次线性微分方程 212.6 单元测试 2合计 80 80四、教学内容及基本要求第 7 部分 空间解析几何与向量代数总学时(单位：学时):14 讲课:14 实验:0 上机:0具体内容：1）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及表示；掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的
8、方法；2）理解曲面方程的概念；掌握平面方程和直线方程及其求法；了解两个向量垂直、平行的条件；3）了解常用二次曲面的方程及其图形；4）了解平面曲线的参数方程和一般方程；会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题；5）会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；6）会求空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程。重 点：掌握平面方程和直线方程及其求法；了解两个向量垂直、平行的条件；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；会求空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程。难 点：平面方程和直线方程及其求法；会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问
9、题。习 题：此部分应布置至少八道题的课后习题，内容可覆盖平面方程和直线方程及其求法、两个向量垂直、平行、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程等。第 8 部分 多元函数微分法及其应用总学时(单位：学时):16 讲课:16 实验:0 上机:0具体内容：1）理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；2）解多元函数偏导数和全微分的概念；3）理解多元函数极值和条件极值的概念；4）掌握多元复合函数偏导数的求法；5）了解二元函数的偏导数和全微分的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；6）了解全微分存在的必要条件和充分条件；7）了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用；8）了解
10、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念；9）了解二元函数极值存在的充分条件；会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；10）会求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程；11）会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。重 点：多元复合函数偏导数的求法；多元函数极值存在的必要条件；求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程；求二元函数的极值，用拉格朗日乘数法求条件极值。难 点：多元复合函数偏导数的求法；求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线
11、的方程；求二元函数的极值，用拉格朗日乘数法求条件极值。习 题：此部分应布置至少三次至少十道题的课后习题，内容可覆盖多元复合函数偏导数的求法、求全微分、求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数、求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程、求二元函数的极值等。第 9 部分 重积分总学时(单位：学时):12 讲课:12 实验:0 上机:0具体内容：1）理解二重积分、三重积分的概念；2）掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法；3）了解重积分的性质，了解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理；4）会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。重 点：掌握二重积分
12、（直角坐标、极坐标）的计算方法；会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。难 点：二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法；计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。习 题：此部分应布置至少两次至少八道题的课后习题，内容可覆盖二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法、计算三重积分（直角坐标、柱面坐标）等。第 10 部分 曲线积分与曲面积分总学时(单位：学时):16 讲课:16 实验:0 上机:0具体内容：1）理解两类曲线积分的概念；2）掌握计算两类曲线积分的方法；3）掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件；4）掌握计算两类曲面积分的方法；5）了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分
13、的关系；6）了解两类曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系；7）了解高斯公式；8）会用高斯公式计算曲面积分；会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长等）。重 点：计算两类曲线积分；格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件；计算两类曲面积分的方法；了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；会用高斯公式计算曲面积分；会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。难 点：计算两类曲线积分；计算两类曲面积分的方法。习 题：此部分应布置至少八道题的课后习题，内容可覆盖格林公式的应用、高斯公式的应用、计算两类曲线积分；计算两类曲面积分的方法等。
14、第 11 部分 无穷级数 总学时(单位：学时):10 讲课:10 实验:0 上机:0具体内容：1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；2）掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；3）掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件；p4）掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法；5）掌握交错级数的莱布尼茨定理；6）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；7）掌握 ， ， ， 和 的麦克劳林展开式；xesinxco)1ln()(x8）了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；9）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；10）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；11）
15、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；12）会用根值审敛法；会求一些幂级数在收敛区间内的和函数；13）会将一些简单函数间接展开成幂级数。重 点：正项级数的比较审敛法和比值审敛法；交错级数的莱布尼茨定理；幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；难 点：正项级数的比较审敛法和比值审敛法；交错级数的莱布尼茨定理；幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。习 题：此部分应布置至少八道题的课后习题，内容可覆盖正项级数、交错级数的审敛；幂
16、级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系等。第 12 部分 常微分方程总学时(单位：学时):12 讲课:12 实验:0 上机:0具体内容：1）理解线性微分方程解的性质及解的结构定理；2）掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；3）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；4）了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念；5）了解微分方程的幂级数解法；6）会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；7）会求自由项为多项式、指数函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解；重 点：掌握可分离变量的方程及一阶线性方程的解法；二阶常系数齐次线性微分方程的解法；微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念；会解某些高于二阶的
