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1、 第 1 页（共 14 页） 勾股定理与几何辅助线综合（难）勾股定理与几何辅助线综合（难） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 3 小题）小题） 1 （2014十堰）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，DEBC，垂足为点 E，连接 AC 交 DE 于点 F，点 G 为 AF 的中点，ACD=2ACB若 DG=3，EC=1，则 DE 的长为（ ） A2 B C2 D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得 DG=AG，根据等腰三角形的性质可得 GAD=GDA，根据三角形外角的性质可得CGD=2GAD，再根据平行线的性质和等量 关系可得ACD=CGD，根据等腰
2、三角形的性质可得 CD=DG，再根据勾股定理即可求解 【解答】解：ADBC，DEBC， DEAD，CAD=ACB，ADE=BED=90， 又点 G 为 AF 的中点， DG=AG， GAD=GDA， CGD=2CAD， ACD=2ACB=2CAD， ACD=CGD， CD=DG=3， 在 RtCED 中，DE=2 故选：C 【点评】综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题 的关键是证明 CD=DG=3 2如图，在ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点已知ACB=90，BE=4，AD=7， 则 AB 的长为（ ） A10 B5 C2 D2 【分析】设 EC
3、=x，DC=y，则直角BCE 中，x2+4y2=BE2=16，在直角ADC 中， 4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得 x、y，在直角ABC 中，AB= 【解答】解：设 EC=x，DC=y，ACB=90， 在直角BCE 中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16 第 2 页（共 14 页） 在直角ADC 中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49， 解得 x=，y=1 在直角ABC 中，AB=2， 故选 C 【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角BCE 和 直角ADC 求 DCBC 的长度是解题的关键 3 （2015 秋重庆校级期中）如图，已知AB
4、C 中，点 D 在 AB 上，且 CD=AD=BD，点 F 在 BC 上，过 D 作 DEDF 交 AC 于 E，过 F 作 FGAB 于 G，以下结论：ABC 为直 角三角形，BF2+DG2=DF2+BG2，AE2+BF2=CE2+CF2，AG2=AC2+BG2，其中结论正 确的序号是（ ） A B C D 【分析】根据在ABC 中，点 D 在 AB 上，且 CD=AD=BD，点 F 在 BC 上，过 D 作 DE DF 交 AC 于 E，过 F 作 FGAB 于 G，可得A=DCA，DCB=B，又根据三角形内 角和，可以求得ACD=90，从而判断；再根据题目中的垂直条件，可以通过转化得到
5、是否正确；点 F 在 BC 上，无法确定 BF 与 CF 是否相等，由此可以判断是否成立 【解答】解：CD=AD=BD， A=DCA，DCB=B， A+DCA+DCB+B=180， A+B=ACD+BCD=90， ABC 为直角三角形， 故正确； FGAB， BF2BG2=DF2DG2=FG2， BF2+DG2=DF2+BG2， 故正确； CD=AD=BD，DEAC，FGBA， AE=EC， 点 F 在 BC 上， CF 与 BF 不一定相等， AE2+BF2不一定等于 CE2+CF2， 故错误； AG2=AC2+BG2， FGAB， AG2=AF2FG2，BG2=BF2GF2 AC2+BG2
6、=AC2+BF2FG2， 点 F 在 BC 上， CF 与 BF 不一定相等， 第 3 页（共 14 页） AG2不一定等于 AC2+BG2， 故错误， 故选 A 【点评】 本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理， 解题的关键是灵活运用勾股定理和勾股定 理的逆定理解答问题 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 4 （2013江岸区模拟）将一副三角尺如图拼接：含 30角的三角尺（ABC）的长直角边 与含 45角的三角尺（ACD）的斜边恰好重合已知 AB=2，E 是 AC 上的一点（AE CE） ，且 DE=BE，则 AE 的长为 【分析】根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 B
7、C，再利用勾股定理列 式求出 AC，过点 D 作 DFAC 于 F，根据等腰直角三角形的性质求出 DF=CF=AC，设 CE=x，表示出 EF，然后分别用勾股定理表示出 DE2、BE2，再列出方程求解即可 【解答】解：AB=2，BAC=30， BC=AB=2=， 根据勾股定理，AC=3， 过点 D 作 DFAC 于 F， ACD 是等腰直角三角形， DF=CF=AC=， 设 CE=x，则 EF=x， 在 RtDEF 中，DE2=DF2+EF2=（）2+（x）2， 在 RtBCE 中，BE2=BC2+CE2= 2+x2， DE=BE， （）2+（x）2= 2+x2， 解得 x=， 第 4 页（共
8、 14 页） 所以，AE=ACCE=3= 故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性 质，等腰直角三角形的性质，作辅助线，利用勾股定理表示出 DE、BE 然后列出方程是解 题的关键 5 （2012常熟市模拟）如图，ABC 中，BAC=90，BC=6，ABAC=2，过点 B 作 BAC 的平分线的垂线，垂足为 D，交 AC 延长线于点 E，则BCE 的面积为 【分析】由ABC 中，BAC=90，得到此三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关系 式，由 ABAC=2，表示出 AB，将表示出的 AB 与 BC 的长代入，得到关于 AC 的一元二 次方
9、程，求出方程的解得到 AC 的长，进而求出 AB 的长，再由 AD 为角平分线，得到一对 角相等，AD 垂直于 BE，得到一对直角相等，以及 AD 为公共边，利用 ASA 得出三级爱心 哦 ABD 与三角形 AED 全等，由全等三角形的对应边相等可得出 AB=AE，求出 AE 的长， 由 AEAC 求出 CE 的长，此时 BA 为 CE 边上的高，利用三角形的面积公式求出三角形 BCE 的面积即可 【解答】解：由ABC 中，BAC=90，BC=6， 根据勾股定理得：BC2=AB2+AC2，即 AB2+AC2=36， 由 ABAC=2，得到 AB=AC+2， 代入得： （AC+2）2+AC2=3
10、6， 整理得：AC2+2AC16=0， 解得：AC=1+或 AC=1（舍去） ， 则 AB=1+2=+1， AD 为BAE 的平分线， BAD=EAD， ADBE， ADB=ADE=90， 在ADB 和ADE 中， ， ADBADE（ASA） ， 第 5 页（共 14 页） AB=AE=+1， CE=AEAC=+1（1+）=2， 则 SBCE=CEBA=2（+1）=+1 故答案为：+1 【点评】此题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的判定与性质，以及等腰 三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理是解本题的关键 6 （2009攀枝花）如图所示，在ABC 中，C=2B，点 D 是 BC 上
11、一点，AD=5，且 ADAB，点 E 是 BD 的中点，AC=6.5，则 AB 的长度为 【分析】RtABD 中，AE 是斜边 BD 上的中线，则 BE=AE=DE，因此AEC=2B，由此 可证得AEC 是等腰三角形，即 AE=AC=6.5，由此可得到 BD 的长，进而可由勾股定理求 出 AB 的值 【解答】解：RtABD 中，E 是 BD 的中点，则 AE=BE=DE； B=BAE，即AED=2B； C=2B， AEC=C，即 AE=AC=6.5； BD=2AE=13； 由勾股定理，得：AB=12 【点评】此题主要考查的是直角三角形、等腰三角形的性质及勾股定理的综合应用能力；能 够发现AEC
12、 是等腰三角形，以此得到直角三角形的斜边长，是解答此题的关键 7 （2015塘沽区三模）如图，ABD 和CED 均为等边三角形，AC=BC，ACBC若 BE=，则 CD= 【分析】易证BCDBED，得 BC=BE，易证 DCAB，得 DF 为 BA 边上的高，则根 据 CD=DFCF 即可求解 【解答】解：CA=CB，DA=DB CD 均在线段 AB 的垂直平分线上，即 DFAB，且CDB=30 BD 为等边CDE 中CDE 的角平分线，CDB=EDB 在CDB 和EDB 中， 第 6 页（共 14 页） CDBEDB（SAS） ， BE=BC AC=BC=， AB=2，且 DF=， 且 CF
13、=BF=1， CD 的长为 DFCF=1 故答案为1 【点评】 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用， 考查了全等三角形的判定与对应边相 等的性质，本题中求 BE=BC 是解题的关键 8 （2015 春硚口区期末） （1） ABC 中， AB=15， BC=14， AC=13， 则 BC 边上的高为 ； （2） 如图， ABC 中， AB=AC， A=30， 点 D 在 AB 上， ACD=15， AD=， 则 BC= 【分析】 （1）作 ADBC 于点 D，设 BD=x，则 CD=14x，再根据勾股定理求出 x 的值， 进而可得出 AD 的长； （2）作 BECD 于 E，作 DFAC 于
14、 F，则BEC=BED=AFD=CFD=90，由等腰三 角形的性质求出ACB=75，再求出BCE=60，BDE=45，设 CE=x，则 BC=2x， BE=DE=x，得出 CD=x+x，BD=x，AC=AB=+x，在 RtCDF 中，由勾股定 理得出方程，解方程求出 x，即可得出 BC 【解答】解： （1）作 ADBC 于 D，如图 1 所示： 设 BD=x，则 CD=14x， AD 是 BC 边上的高， ADB=ADC=90， AD2=AB2BD2，AD2=AC2CD2， AB2BD2=AC2CD2， 即 152x2=132（14x）2， 解得：x=9， 第 7 页（共 14 页） BD=9
15、， AD=12； 故答案为：12； （2）作 BECD 于 E，作 DFAC 于 F，如图 2 所示： 则BEC=BED=AFD=CFD=90， AB=AC，A=30， ABC=ACB=75，DF=AD=， AF=DF=， ACD=15， BCE=7515=60，BDE=30+15=45， CBE=30，BDE 是等腰直角三角形， BC=2CE，BE=DE， 设 CE=x，则 BC=2x，BE=DE=x， CD=x+x，BD=BE=x， AC=AB=+x， 在 RtCDF 中，根据勾股定理得：CF2+DF2=CD2， 即（+x）2+（）2=（x+x）2， 解得：x=1， BC=2 故答案为：2 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函 数、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2
