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1、2019年余弦定理及其证明 篇一：余弦定理的证明方法大全(共十法) 余弦定理的证明方法大全(共十法) 一、余弦定理 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在?ABC中,已知AB?c,BC?a,CA?b,则有 a2?b2?c2?2bccosA,b2?c2?a2?2cacosB,c2?a2?b2?2abcosC. 二、定理证明 为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可: 在?ABC中,已知AB?c,AC?b,及角A,求证:a2?b2?c2?2bccosA.证法一:如图1,在?ABC中,由CB?AB?AC可得: CB?CB?(AB?AC)?(AB
2、?AC) ?AB?AC?2AB?AC ?b2?c2?2bccosA 图1 2 2 即,a2?b2?c2?2bccosA. 证法二:本方法要注意对?A进行讨论. (1)当?A是直角时,由b2?c2?2bccosA?b2?c2?2bccos90?b2?c2?a2知结论成立.(2)当?A是锐角时,如图2-1,过点C作CD?AB,交AB于点D,则 在Rt?ACD中,AD?bcosA,CD?bsinA. 从而,BD?AB?AD?c?bcosA. 在Rt?BCD中,由勾股定理可得:BC2?BD2?CD2 ?(c?bcosA)2?(bsinA)2 ?c2?2cbcosA?b2 A 图2-1 即,a2?b2?
3、c2?2bccosA. 说明:图2-1中只对?B是锐角时符合,而?B还可以是直角或钝角.若?B是直角,图中的 点D就与点B重合；若?B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上. (3)当?A是钝角时,如图2-2,过点C作CD?AB,交BA延长线于点D,则在Rt?ACD中,AD?bcos(?A)?bcosA,CD?bsin(?A)?bsinA. 从而,BD?AB?AD?c?bcosA. 在Rt?BCD中,由勾股定理可得: BC?BD?CD ?(c?bcosA)2?(bsinA)2 ?c2?2cbcosA?b2 图2-2 222 即,a?b?c?2bccosA. 综上(1),(2),(3)可知,均有a
4、2?b2?c2?2bccosA成立.证法三:过点A作AD?BC,交BC于点D,则 BDAD 在Rt?ABD中,sin?,cos?. ccCDAD 在Rt?ACD中,sin?,cos?. bb 222 图3 由cosA?cos(?)?cos?cos?sin?sin?可得: ADADBDCDAD?BD?CD cosA? cbcbbc 2AD2?2BD?CDc2?BD2?b2?CD2?2BD?CD? 2bc2bcb2?c2?(BD?CD)2b2?c2?a2 ? 2bc2bc 2 整理可得a2?b2?c2?2bccosA.证法四:在?ABC中,由正弦定理可得 abcc ?.sinAsinBsinCsi
5、n(A?B) 从而有bsinA?asinB, csinA?asin(A?B)?asinAcosB?acosAsinB. 将带入,整理可得acosB?c?bcosA.将,平方相加可得a2?(c?bcosA)2?(bsinA)2?b2?c2?2bccosA. 即,a2?b2?c2?2bccosA. 证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式可得a2?(c?bcosA)2?(bsinA)2?c2?2cbcosA?b2. 即,a2?b2?c2?2bccosA. 证法六:在?ABC中,由正弦定理可得a?2RsinA,b
6、?2RsinB,c?2RsinC.于是,a2?4R2sin2A?4R2sin2(B?C) ?4R2(sin2Bcos2C?cos2Bsin2C?2sinBsinCcosBcosC)?4R2(sin2B?sin2C?2sin2Bsin2C?2sinBsinCcosBcosC)?4R2(sin2B?sin2C?2sinBsinCcos(B?C)?4R2(sin2B?sin2C?2sinBsinCcosA) ?(2RsinB)2?(2RsinC)2?2(2RsinB)(2RsinB)cosA ?b2?c2?2bccosA 即,结论成立. 证法七:在?ABC中,由正弦定理可得a?2RsinA,b?2R
7、sinB,c?2RsinC.于是,a2?b2?c2?2bccosA ?4R2sin2A?4R2sin2B?4R2sin2C?8R2sinBsinCcosA ?2sin2A?2sin2B?2sin2C?4sinBsinCcosA?2sin2A?2?cos2B?cos2C?4sinBsinCcosA ?2?2cos2A?2?2cos(B?C)cos(B?C)?4sinBsinCcosA由于cos(B?C)?cos(?A)?cosA,因此 ?cos2A?cos(B?C)cos(B?C)?2sinBsinCcosA ?cosA?cos(B?C)?2sinBsinC ?cosA?cosBcosC?sin
8、BsinC?cos(B?C).这,显然成立. 即,结论成立. 证法八:如图5,以点C为圆心,以CA?b为半径作C,直线BC与C交于点D,E,延长 AB交C于F,延长AC交C于G. G A 则由作图过程知AF?2bcosA,故BF?2bcosA?c. 由相交弦定理可得:BA?BF?BD?BE,即,c?(2bcosA?c)?(b?a)?(b?a),整理可得:a?b?c?2bccosA. 2 2 2 图5 证法九:如图6,过C作CDAB,交?ABC的外接圆于D,则AD?BC?a,BD?AC?b.分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,则AE?BF?bcosA,故CD?c?2bcosA. 由托勒密
9、定理可得AD?BC?AB?CD?AC?BD,即,a?a?c?(c?2bcosA)?b?b. 整理可得:a?b?c?2bccosA. 证法十:由图7-1和图7-2可得a2?(c?bcosA)2?(bsinA)2,整理可得:a2?b2?c2?2bccosA. 222 图6 c-bcosA 余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询. 图7-1 图7-2 篇二：余弦定理的三种证明 ABC中的三个内角A，B，C的对边，分别用a,b,c表示. 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它
10、们夹角的余弦的积的两倍.即 c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA 证明：按照三角形的分类，分三种情形证明之.(1)在Rt?ABC中，如图1-1根据勾股定理:c=a+b 因为cosC=0,所以c=a+b-2abcosC 2 2 2 2 2 2 A a222 ,所以b=a+c-2accosBcb222 因为cosA=,所以a=b+c-2bccosA c 因为cosB= （2）在锐角ABC中，如图1-2作CD?AB于点D，有 b c Ca BC CD=asinB,BD=acosB，AD=AB-BD=c-acosB b b2=CD2+AD
11、2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB 同理可证： A c B D c2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA （3）在钝角ABC中，如图1-3 作CD?AB，交AB的延长线于点D，则 CD=asin?CBD=asinB,BD=acos?CBD=-acosB，AD=AB+BD=c-acosB b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB 按照（2）的方法可以证明： b a c2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA 综上所述，在任意的三角形中，余弦定理总是成立. A BD ? 证明：在ABC中，令AB=c，AC=b，BC=a? a?BC?BA?AC?b?c ?2?2?2?2?2? |a|?(b?c)?b?2b?c?c?|b|?2|b|?|c|?cosA?|c|2 即a=b+c-2bccosA 同理可证：c=a+b-2abcosC,b=a+c-2accosB 证明：对于任意一个?ABC，建立直角坐标系如图所示，那么A(bcosC,bsinC)，B(a,0) 因为余弦定理中涉及到c，我们自然想到计算AB的长度。根据两点间的距离公式，我们有： 2
