函数的奇偶性题型及解析

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2、对称；根据二次函数的性质得到y=x2的对称轴为y轴，y=（x1）2+2的对称轴为直线x=1，然后根据新定义进行判断解：y=2|x|，当x0，则y=2x；当x0，则y=2x，所以y=2|x|的对称轴是y轴，该函数为偶函数；y=6x关于直线y=x和y=x对称，所以y=不是偶函数；y=x2的对称轴为y轴，所以y=x2为偶函数；y=（x1）2+2的对称轴为直线x=1，所以y=（x1）2+2不是偶函数，偶函数的个数为2个3.函数y=|x+3|3x|是奇函数还是偶函数？分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可解：f（x）=|x+3|3+x|=（|x+3|3x|）=f（x），函数f（x）是奇函数，4.如果函数

3、y=x22ax+6是偶函数，求a的值分析：运用偶函数的定义得出f（x）=f（x），即x2+2ax+6=x22ax+6恒成立，得出2a=2a，即可解：函数y=x22ax+6是偶函数，f（x）=f（x），即x2+2ax+6=x22ax+6恒成立，2a=2a，解得a=05.已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，求实数分析：由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法解：由奇函数定义有f（x）=f（x），则f（1）=a2=f（1）=（a+2），解得a=0如果函数f（x）=+a是奇函数，求a的值分析：函数的定义域为R，利用奇函数f（0）=0，得到a解：因为函数的定义域为R，并且函数是奇函数，所以f

4、（0）=0，即+a=0，解得a=-1；已知f（x）= +a是奇函数，求a的值及函数值域分析：本题考察函数奇偶性的性质，由题意可得f（1）+f（1）=0，可得a值，再由定义域和反比例函数以及不等式的性质可得函数的值域解：由2x1=0可得x0，可得函数的定义域为x|x0，f（x）= +a是奇函数，f（1）+f（1）=0，+a+a=0，解得a=，f（x）=+，x0，2x0且2x1，2x11且2x10，0或1，+或+，函数的值域为（-，-）（，+）函数y=f（x）是定义在2a+1，a+5上的偶函数，求a的值分析：由偶函数的定义域关于原点对称得，2a+1+a+5=0，再求出a的值解：偶函数的定义域关于原

5、点对称，2a+1+a+5=0，解得a=2，6.已知函数y=f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=x2+ax（aR），f（2）=6，求a分析：先根据函数的奇偶性求出f（2）的值，然后将x=2代入小于0的解析式，建立等量关系，解之即可解：函数y=f（x）是奇函数，f（x）=f（x），而f（2）=6，则f（2）=f（2）=6，将x=2代入小于0的解析式得f（2）=42a=6，解得a=5已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）=x22x，求f（2）的值分析：首先，根据函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，得到f（2）=f（2）=2222=0，从而得到结果解：函数y=f（x）是定义在

6、R上的偶函数，f（-2）=f（2）=2222=0，f（-2）=0，f（-2）的值07.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x0时，f（x）=3x25x+2，求f（x）在R上的表达式分析：设x0，则x0利用当x0时，f（x）=3x25x+2，可得f（x）=3x2+5x+2再利用奇函数的性质即可得出解：设x0，则-x0当x0时，f（x）=3x25x+2，f（x）=3x2+5x+2函数f（x）是定义域为R的奇函数，f（x）=f（x）=3x25x2，又f（0）=0f（x）=已知函数y=f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=x1，求f（x1）0的解集分析：由函数y=f（x）为偶函数可得f（x）=f

7、（x），由x0时，f（x）=x1可得x0，f（x）=x1即f（x）=，而f（x1）0时，有1x11，解不等式可得解：由函数y=f（x）为偶函数可得f（x）=f（x），x0时，f（x）=x1，设x0，则x0，f（x）=x1=f（x），f（x）=，当f（x1）0时，有1x11，0x28.（1）定义在1，1上的奇函数y=f（x）是增函数，若f（a1）+f（4a5）0，求a的取值范围（2）定义在2，2上的偶函数f（x）在区间0，2上单调递减，若f（1m）f（m），求m的取值范围分析：（1）利用函数的奇偶性可把不等式f（a1）+f（4a5）0化为f（a1）f（54a），根据单调性可去掉符号“f”，考虑到

8、定义域即可求出a的范围；（2）利用偶函数的性质，可得f（|1m|）f（|m|），根据定义在2，2上的偶函数f（x）在区间0，2上单调递减，可得不等式组，即可得出结论解：（1）函数y=f（x）是奇函数，f（a1）+f（4a5）0，f（a1）f（54a），定义在1，1上的函数y=f（x）是增函数，；（2）偶函数f（x），f（1m）f（m），f（|1m|）f（|m|），定义在2，2上的偶函数f（x）在区间0，2上单调递减，9.（1）已知定义在2，2上的奇函数，f（x）在区间0，2上单调递减，若f（m）+f（m1）0，求实数m的取值范围；（2）已知定义在2，2上的偶函数，f（x）在区间0，2上单调递减

9、，若f（1m）f（m），求实数m的取值范围分析：（1）根据定义域得出m的范围为1m2，由奇函数的性质，结合单调性可知m1m，得出m的范围；（2）根据定义域得出m的范围为1m2，由偶函数的性质可知距离y轴越进，函数值越大，得出|1m|m|，进而求出m的范围解：（1）定义在2，2上的奇函数，1m2，f（m）+f（m1）0，f（m）f（m1）=f（1m），m1m，m，1m（2）已知定义在2，2上的偶函数，f（x）在区间0，2上单调递减，1m2，f（1m）f（m），|1m|m|，m，1m10.函数y=x2+2ax+1在1x2上的最大值是4，求a的值分析：二次函数y=x2+2ax+1 的对称轴方程为x=

10、a，分对称轴在闭区间的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得函数的最大值解：二次函数y=x2+2ax+1 的对称轴方程为x=a，当a1时，函数y=x2+2ax+1在区间1，2上单调递减，故函数的最大值为f（1）=12a+1=4，解得a=2；当1a2时，函数的最大值为f（a）=a2+1=4，解得a=；当a2时，函数y=x2+2ax+1在区间1，2上单调递增，故函数的最大值为f（2）=4+4a+1=4，解得a=，舍去综合知：a的值为2或11.已知函数f（x）的定义域是一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x0时f（x）0（1）试判断f（x）的奇偶性；（

11、2）试判断f（x）的单调性，并证明分析：（1）利用赋值法先求出f（0）=0，然后根据函数奇偶性的定义进行判断即可得到f（x）的奇偶性；（2）结合函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性解：（1）令x1=0，x2=0，则f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，令x1=x，x2=x，则f（xx）=f（x）+f（x）=f（0）=0，即f（x）=f（x），则函数为奇函数（2）函数在定义域上为增函数证明：当x1x2时，则x2x10，此时f（x2x1）0则f（x2）f（x1）=f（x2）+f（x1）=f（x2x1）0，可得f（x2）f（x1）由此，得到y=f（x）是R上的增函数12.已知函数f（x

12、）的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且当x1时f（x）0，f（2）=1，（1）求证：f（x）是偶函数；（2）证明f（x）在（0，+）上是增函数；分析：（1）先令x1=x2=1，得到f（1）=0，再令x1=x2=1，得f（1）=0然后用主条件证明f（x）=f（1x）=f（1）+f（x）=f（x）得证（2）先任取两个变量，界定大小，再作差变形看符号解：（1）证明：令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），f（1）=0令x1=x2=1，得f（1）=0f（x）=f（1x）=f（1）+f（x）=f（x），f（x）是偶函数（2）证明：设x2x

13、10，则f（x2）f（x1）=f（x1 ）f（x1）=f（x1）+f（）f（x1）=f（）x2x10，1f（）0，即f（x2）f（x1）0f（x2）f（x1）f（x）在（0，+）上是增函数13.已知定义域为xR|x0的函数f（x）满足；对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（x）+f（x）=0；当x0时，f（x）=x22（）求f（x）定义域上的解析式；（）解不等式：f（x）x分析：（I）根据条件变形，得到f（x）在定义域内是奇函数，设x小于0，得到x大于0，代入中f（x）的解析式中化简后即可得到x小于0时f（x）的解析式，综上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函数解析式；（II）当x大

14、于0时和小于0时，把（I）得到的相应的解析式代入不等式中，分别求出相应的解集，然后求出两解集的并集即为原不等式的解集解：（I）对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（x）+f（x）=0，f（x）=f（x），故f（x）在其定义域为xR|x0内是奇函数，当x0时，f（x）=x22，设x0，所以x0，f（x）=f（x）=x22，即f（x）=2x2，则；（II）当x0时，x22x，化简得（x2）（x+1）0，解得：1x2，所以不等式的解集为0x2；当x0时，2x2x，化简得：（x1）（x+2）0，解得：x1或x2，所以不等式的解集为x2，综上，不等式f（x）x的解集为x|0x2或x214. 已知定义域为R的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y）对任何实数x、y都成立；存在实数x1、x2使，f（x1）f（x2），求证：（1）f（0）=1；（2）f（x）0分析：（1）令x=y=0，求出f（0），注意条件的运用，舍去一个；（2）将x，y均换成，得到f（x）=f2（）即f（x）0，注意运

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